理论力学全套解疑09.pdf

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1、第九章刚体的基本运动题9-1直线平动与曲线平动有什么区别？解答先回顾一下平动的定义：刚体运动时，其上任一直线在运动过程中始终保持与它的最初位置平行，这种运动称为平动。刚体平动时，其上任一点的轨迹为直线，称为直线平动，任一点的轨迹为曲线，称为曲线平动。例如在直线轨道上行驶的车厢如题9-1图(a)所示，在其上任作一直线AB，车厢运动时，AB始终保持平行，按定义车厢作平动，但车厢上任一点A（或B）的轨迹是直线，故称直线平动。题9-1图又如荡木AB用两条等长的钢索吊起如题9-1图(b)所示，钢索摆动时，荡木AB则运动到A1B1，但两者

2、是相互平行的，按定义荡木是平动，但A(或B)点的轨迹AA1（或BB1）是以O(O1)为圆心，以索长OA(O1B)为半径的一段圆弧，故称曲线平动。因此，不要把刚体的平动仅仅理解为直线平动。只要符合平动的定义，平动刚体上各点的轨迹可以是直线，也可以是圆或其它任意形状的曲线。直线平动只是平动中的一种特殊情况。题9-2直线运动与刚体的平动有无区别？解答提出上面问题可能存在一个糊涂概念，即把点的运动与刚体的运动混为一谈。直线运动是属千点的运动范畴，而平动是属于刚体运动的范畴。直线平动刚体上的各点是作直线运动，但不能说刚体作直线运动。题9

3、-3作平动的刚体有哪些主要性质？解答刚体作平动时，其上各点的轨迹形状相同，在每一瞬时刚体上各点的速度相同，各点的加速度也相同。因此，研究刚体的平动可归结为研究其上任一点的运动。所以，我们在前一章中讲点的运动有两重意义，一是代表大小可以忽略的物体的运动，二是代表大小不能忽略但作平动的刚体的运动。题9-4如果刚体上每一点轨迹都是圆曲线，这刚体是否一定作定轴转动？解答不一定。因为如果刚体作曲线平动，其上各点的轨迹也可以是圆。例如在题9-4图中连在OA、O1B上的半圆板是作曲线平动，其上任一点M的轨迹都与A（或B）点一样是一个半径为r

4、的圆。题9-5定轴转动刚体的转轴是否一定在刚体内部？解答定轴转动刚体的转轴可以在刚体内部，例如齿轮的转动轴、地球的自转轴等，但也可以在刚体的外部，我们可以设想将刚体延拓，而轴就在延拓体上面，例如列车转弯时（假定弯道是一个圆弧），车厢的转动轴就在车厢的外部（题9-5图）。题9-5图题9-6图题9-6滑轮绕O轴作定轴转动，轮上绕有绳子，绳子下系一重物A，则轮上B点的加速度是否即为重物A的加速度，另外绳上B′点与轮上B点的加速度是否相同。（题9-6图）？解答如果绳子很细，可以不计其直径，绳与轮又无相对滑子，那么轮上B点的切向加速度a

5、Bτ，等于重物A的加速度aA。可先写出重物A的运动方程s=Rϕ则重物A的加速度a="s"=Rϕ""A轮上B点的切向加速度a=Rϕ""Bτ然而轮上B点是在作圆周运动，它还有法向加速度，所以a=a≠aABτB但当还在B′点时，轮缘上B′点与绳上B′点具有完全相同的全加速度，在到达B处，绳上的B点只有切向加速度，而法向加速度突变为零，所以绳上B点与轮上B点的加速度是不同的。题9-7点的直线运动与刚体的定轴转动两者有什么共同点？解答两者可以进行类比。刚体绕定轴转动时只要用一个独立的参变量角坐标ϕ就可以确定它的位置。点沿直线Ox轴运动时

6、，它的位置也只要用一个参变量坐标x来确定。所以这两种运动可以列表比较如下：刚体的定轴转动点的直线运动转动方程ϕ=ϕ(t)运动方程x=x(t)dϕdx角速度ω=速度v=dtdt22dωdωdvdx角加速度ε==加速度a==22dtdtdtdt匀速转动时ϕ=ωt匀速直线运动时x=vt匀变速转动时ω=ω0+εt匀变速直线运动时v=v0+at1212ϕ=ωt+εtx=vt+at00222222ω=ωt+2εϕv=vt+2ax00可以看出ϕ、ω、ε三量之间的关系和x、v、a三量之间的关系是完全相似的。当然这两种情况在物理上并不一样，一个

7、是刚体，一个是点，一个是转动，一个是直线运动，匀角速转动是周而复始的，而匀速直线运动是一去不复返的。此外，在量纲上看也是很不一样的。但是，这种数学上类似有助于我们的理解与记忆。题9-8v=Rω与极坐标中v=ρϕ"有什么区别？解答v=Rω是求定轴转动刚体上点的速度公式，而v=ρϕ"是点作曲线运动时用极坐标表示时点的横向速度（题9-8图），M点作曲线运动，M点的矢径为r，r的长度为ρ，i是r方向的单位矢，则r=ρi，于是速度drddρdiv==(ρi)=i+ρ=ρ"i+ρϕ"jdtdtdtdt式中，ρ"i是M点速度的径向分量可记作

8、vρ，ρϕ"j是M点速度的横向分量记作vϕ。M点的速度2222v=v+v=ρ"+(ρϕ")ρϕ所以，v=ρϕ"仅是M点速度的一个分量。ϕ题9-8图题9-9图题9-9作定轴转动刚体上一点的速度可用矢积表示，即vM=ω×r，r为点M的矢径，ω为刚体的角速度，但是如果ω矢量并不是沿