理论力学全套解疑06

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1、第六章空间力系题6-1计算力在正角坐标系三轴上的投影有两种方法，即一次投影法和二次投影法，解题时究竟用哪一种？解答在求解中间力系的平衡问题时，经常要计算力在坐标轴上的投影，我们应根据已知的条件，分别选用不同的计算方法，当力与坐标轴之间的夹角容易求得时，则用一次投影法，否则应用二次投影法。请看下面的例子。重物Q=420(N)，由撑杆AB和链条AC及AD所支持，如题6-1图(a)所示。已知AB=1450(mm)，AC=800(mm)，AD=600(mm)，矩形CADE所在平面是水平的，B点是球铰链支座。求杆AB和链条AC和AD的内力。题6-l

2、图取节点A为研究对象，画受力图如题6-1图(b)所示。节点A上作用有重力Q，AB和AD链条的拉力TC和TD，杆AB的拉力TB（AB为二力杆，假设为拉杆）。建立坐标系Axyz。列平衡方程∑Z=0,−Q−TBcosα=0(1)∑X=0,TC+TBsinαcosβ=0(2)∑Y=0,TD+TBsinαsinβ=0(3)曲几何关系可知22A′BAC+AD1000sinα===ABAB145021050cosα=1−sinα=1450AC800cosβ==AE1000CE600sinβ==AE1000将以上各量代入(1)、(2)、(3)式，解得：T

3、=−580N（负值表示AB杆为压杆）BT=320NCT=240ND在上面的计算中，根据已知条件，用不同的方法求力在坐标轴上的投影。求TB力在Z轴上的投影时，用了一次投影法，即T=TcosαBxB求TB力在x、y轴上的投影时，用了二次投影法，将TB先投影到x、y平面上，得TBxy，其大小为T=TsinαBxyB再将矢量TBxy投影到x、y轴上，共大小分别为T=Tcosβ=TsinαcosβBxBxyBT=Tsinβ=TsinαsinβByBxyB题6-2在什么情况下，一个力和一个力偶可以合成为一个力？解答当力与力偶矩矢垂直时，力与力偶总可以

4、合成为一个力。如题6-2图(a)所示的力R′和力偶矩矢MO垂直，则可合成为一个力。作法如下。题6-2图在过力R′、且垂直力偶矩矢尔MO的平面内找一点O′（使mO′(R′)=−MO），将R′由O点平移至O′时，得一力R和一力偶MO′=mO′(R′)。因为MO′=mO′(R′)=−MO，所以原力系(R′，MO)=(R，MO，MO′)=R，如题6-2图(b)、(c)所示。题6-3空间一般力系分别向A，B两点简化，可得RA，MA及RB，MB，RA与RB及MA与MB之间有什么关系？解答因为当一个力系给定以后，力系的主矢量就是唯一确定的，不因简化中心

5、不同而有所不同，所以RA＝RA＝R′＝∑F。由此看出主矢量是力系简化过程中的一个不变量。主矩与简化中心有关，它随简化中心的改变而改变，不同简化中心各主矩之间的关系可由力系的等效变换求得。已知空间一般力系（F1，F2，⋯，Fn），分别向A、B两点简化后得到（RA，MA）、（RB，MB），由力系的等效关系可知（F1，F2，⋯，Fn）=（RA，MA）=（RB，MB）(1)由力系（RB，MB）向A点简化，得（题6-3图）（RA，MA）=(R,M+AB×R(2)BBB比较（1），（2）式可知，力系向不同点简化时，主矩之间的关系为MA=MB+AB×R

6、B（3）虽然主矩随简化点的不同而改变，但是主矢量和主矩的点积却是一个不变量，证明如下。题6-3图将（3）式等号两边同时点乘以主矢R，得MA⋅R=(MB+AB×RB)⋅R=MB⋅R题6-4空间平行力系合成的结果是什么？能否合成为力螺旋？解答已知空间平行力系（F1，F2，⋯，Fn），将力系向任一点O简化，过O点建立直角坐标系Oxyz，取z轴与诸力平行，如题6-4图（a）所示，空间力系向O点简化得一力R′和一力偶MO。为R′=∑FMO=∑m(F)=∑r×F（ri为Fi力作用点的矢径）Oii因为诸力与坐标轴z轴平行，显然R与z轴平行，因为ri×F

7、i与Fi垂直，而Fi∥z轴，所以ri×Fi与z轴垂直，即ri×Fi在Oxy平面内，显然MO=∑ri×Fi在Oxy平面内，由此得知R′⊥MO，即空间平行力系向任一点O简化得一力R′和一力偶MO，且R′与MO垂直（题6-4图b）。题6-4图简化结果的讨论：（1）若R′=0，MO≠0，力系简化为力偶，MO与简化点无关。（2）若R′≠0，MO=0，力系简化为合力R，合力过简化点O。若R≠0，MO≠0，可进一步简化为合力R，R不过简化点O。O点到合力作用点的距离MOd=R（3）R=0，MO=0，力系平衡。因为力系向任一点简化，所得的主矢R′与主矩M

8、O垂直，所以力系不可能简化为力螺旋。题6-5若空间力系中各力的作用线平行于某一固定平面，这种力系的独立平衡方程有几个？解答空间一般力系是最一般的力系，其平衡方程也是最普遍的，其它力系的平衡方程