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1、积分变换FourierFourier变换Recall:周期函数在一定条件下可以展开为Fourier级数；但全直线上的非周期函数不能用Fourier表示；引进类似于Fourier级数的Fourier积分(周期趋于无穷时的极限形式)1§1Fourier积分公式1.1Recall:在工程计算中,无论是电学还是力学,经常要和随时间变化的周期函数fT(t)打交道.例如:t具有性质fT(t+T)=fT(t),其中T称作周期,而1/T代表单位时间振动的次数,单位时间通常取秒,即每秒重复多少次,单位是赫兹(Herz,或Hz).2最常用的一种周期函数是三角函数。人们发现,所有的工程中使用的周期函数都可以用一系
2、列的三角函数的线性组合来逼近.——Fourier级数方波4个正弦波的逼近100个正弦波的逼近3研究周期函数实际上只须研究其中的一个周期内的情况即可,通常研究在闭区间[-T/2,T/2]内函数变化的情况ft.⎡−TT⎤T()是以T为周期的函数，在⎣,⎦上满足22Dirichlet条件：ft()连续或只有有限个第一类间断点；Tft()只有有限个极值点；Tft()可展开成Fourier级数，且在连续点t处成立：T∞aft()=0+∑(acosntω+bsinntω)Tnn2n=14其中ω=2πT,2T2a=ft()cosntdtω(n=0,1,2,⋯)n∫TT−T22T2b=ft()sinntdt
3、ω(n=1,2,⋯)n∫TT−T2在间断点t处成立：()()∞ft+0+ft−0aTT0()=+∑ancosntω+bnsinntω22n=1引进复数形式：intω−intωintω−intωe+ee−ecosntω=,sinntω=22i5级数化为：∞intω−intωintω−intωae+ee−e0+∑(an+bn)2n=122i∞a0an−ibnintωan+ibn−intω=+∑(e+e)2n=122aa−iba+ib1T2令c=0,c=nn,d=nn,则c=ftdt()0nn0∫T222T−T21T21T2−intωcn=∫ftT()[cosntω−isinntdtω]=∫ft(
4、)TedtT−T2T−T21T21T2intωdn=∫ftT()[cosntω+isinntdtω]=∫ft()Tedtc∆−nT−T2T−T2(n=1,2,⋯)(c=c)−nn61T2−intω合并为：c=fte()dtn(=0,1,2,±±⋯)n∫TT−T2+∞+∞1T2intω−inωτintω级数化为：ce=⎡f(τ)edτ⎤e∑nT∑⎣∫−T2T⎦n=−∞n=−∞c=Fn(ω)ft()的离散频谱；nTcft()的离散振幅频谱；nTargcft()的离散相位频谱；n∈Ζ.nT若以ft()描述某种信号，则c可以刻画ft()的特征频率。TnT7对任何一个非周期函数f(t)都可以看成是由某
5、个周期函数fT(t)当T→∞时转化而来的.作周期为T的函数fT(t),使其在[-T/2,T/2]之内等于f(t),在[-T/2,T/2]之外按周期T延拓到整个数轴上,则T越大,fT(t)与f(t)相等的范围也越大,这就说明当T→∞limft()=ft()时,周期函数fT(t)便可转化为T→+∞Tf(t),即有8例矩形脉冲函数为1t<1ft()={0t≥1如图所示:f(t)1-1O1t9现以f(t)为基础构造一周期为T的周期函数fT(t),令T=4,则+∞ft4()=∑ft(+4n),n=−∞2π2ππnπω===,ω=nω=nT422f4(t)t-113T=410则1T2−jωtc=fte(
6、)ndtn∫TTT−212−jωt11−jωt=fte()ndt=endt∫4∫4−24−11=1e−jωnt=1(ejωn−e−jωn)−4jω4jωn−1n1sinω1n()()=⋅=sincωn=0,1,2,±±⋯n2ω2n11sinc函数介绍sinxsinc函数定义为sinc(x)=xsinx严格讲函数在x=0处是无定义的,但是因为lim=1x→0xsinx所以定义sinc0()=1,用不严格的形式就写作=1,xx=0则函数在整个实轴连续。sinc(x)x12前面计算出1c=sinc(ω)(n=0,1,2,±±⋯)nn22πnπω=nω=n=,可将cn以竖线标在频率图上nT2ω13现
7、在将周期扩大一倍,令T=8,以f(t)为基础构造一周期为8的周期函数f8(t)+∞ft8()=∑ft(+8,n)n=−∞2π2ππnπω===,ω=nω=nT844f8(t)-117tT=814则1T2−jωtc=fte()ndtn∫TTT−214−jωt11−jωt=fte()ndt=endt∫−48∫−18811−jωt1jω−jω=en=(en−en)−8jω8jωn−1n1sinω1n()()=⋅=s
