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1、例.解初值问题解:分离变量得两边积分得即由初始条件得C=1,(C为任意常数)故所求特解为自行填充空白处的颜色例.求下述微分方程的通解:解:令则故有即解得(C为任意常数)所求通解:例:解法1分离变量即(C<0)解法2故有积分(C为任意常数)所求通解:例.解微分方程解:则有分离变量积分得代回原变量得通解即说明:显然x=0,y=0,y=x也是原方程的解,但在(C为任意常数)求解过程中丢失了.例.求方程的通解.解:注意x,y同号,由一阶线性方程通解公式,得故方程可变形为所求通解为这是以为因变量,y为自变量的一阶线性方程思考与练习判别下列方程类型:提示:可分离变量方程齐次方
2、程线性方程线性方程伯努利方程例.求解解:∴这是一个全微分方程.用凑微分法求通解.将方程改写为即故原方程的通解为或思考:如何解方程这不是一个全微分方程,就化成上例的方程.但若在方程两边同乘备用题解方程解法1积分因子法.原方程变形为取积分因子故通解为此外,y=0也是方程的解.解法2化为齐次方程.原方程变形为积分得将代入,得通解此外,y=0也是方程的解.解法3化为线性方程.原方程变形为其通解为即此外,y=0也是方程的解.例.解:例.求解解:代入方程得分离变量积分得利用于是有两端再积分得利用因此所求特解为对于型方程(n≥2)，可以令得如果能求出其通解逐次积分n-1次，就可
3、得到原方程的通解其中C1,C2...,Cn为任意常数.例.解初值问题解:令代入方程得积分得利用初始条件,根据积分得故所求特解为得例.的通解.解:特征方程特征根:因此原方程通解为例.解:特征方程:特征根:原方程通解:(不难看出,原方程有特解例.解:特征方程:即其根为方程通解:备用题为特解的4阶常系数线性齐次微分方程,并求其通解.解:根据给定的特解知特征方程有根:因此特征方程为即故所求方程为其通解为常数,则该方程的通解是().设线性无关函数都是二阶非齐次线性方程的解,是任意例.提示:都是对应齐次方程的解,二者线性无关.(反证法可证)(89考研)例.已知微分方程个解求此
4、方程满足初始条件的特解.解:是对应齐次方程的解,且常数因而线性无关,故原方程通解为代入初始条件故所求特解为有三例.的通解为的通解.解:将所给方程化为:已知齐次方程求利用⑤,⑥建立方程组:积分得故所求通解为例.的通解.解:对应齐次方程为由观察可知它有特解:令代入非齐次方程后化简得此题不需再作变换.特征根:设⑦的特解为于是得⑦的通解:故原方程通解为(二阶常系数非齐次方程)⑦代入⑦可得:例1.的一个特解.解:本题而特征方程为不是特征方程的根.设所求特解为代入方程:比较系数,得于是所求特解为例2.求解定解问题解:本题特征方程为其根为设非齐次方程特解为代入方程得故故对应齐次
5、方程通解为原方程通解为由初始条件得于是所求解为解得例4的一个特解.解:本题特征方程故设特解为不是特征方程的根,代入方程得比较系数,得于是求得一个特解例5.的通解.解:特征方程为其根为对应齐次方程的通解为比较系数,得因此特解为代入方程:所求通解为为特征方程的单根,因此设非齐次方程特解为例6.解:(1)特征方程有二重根所以设非齐次方程特解为(2)特征方程有根利用叠加原理,可设非齐次方程特解为设下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式:思考与练习时可设特解为时可设特解为提示:1.(填空)设2.已知二阶常微分方程有特解求微分方程的通解.解:将特解代入方程得恒等式比较系数得故
6、原方程为对应齐次方程通解:原方程通解为例1.解:则原方程化为亦即其根则①对应的齐次方程的通解为特征方程①①的通解为换回原变量,得原方程通解为设特解:代入①确定系数,得例2.解:将方程化为(欧拉方程)则方程化为即②特征根:设特解:代入②解得A=1,所求通解为
