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1、对“分类讨论”的再思考江苏省涕水县第二高级中学高虎英（邮编211200）在研究和解决数学问题时，当问题所给对彖不能进行统一研究，我们就需要根据数学对象的木质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，从而达到解决整个问题的目的，这一思想方法，我们称它为“分类讨论的思想”.分类讨论本质上是“化整为零，积零为整”的解题策略.引起分类讨论原因，通常有以下几种：①涉及的数学概念是分类定义的（如
2、x
3、的定义，P点分线段的比等）；②公式、定理、性质或运算法则的应用范围受到限制；③几何图形中点、线、面的相对位置不确定；④求解的数学问题的结论有多种
4、情况或多种可能性；⑤数学问题中含有参变量，这些参变量的不同取值会导致不同结果.分类讨论的一般步骤是：（1）确定讨论对象和确定研究的全域；（2）进行科学分类（按照某一确定的标准在比较的基础上分类），“比较”是分类的前提,“分类”是比较的结果.分类时，应不重复，不遗漏；（3）逐类讨论；（4）归纳小结，整合得出结论.分类讨论的方法是解决数学问题常用的方法，因分类讨论牵涉的面多,解题过程中容易出错，因此也要注意指导学牛辩证地分析数学问题，不要盲目、机械地进行分类讨论。事实上，有不少含有分类因素的数学题，如果能够在着手讨论前对问题作一番深入研究，挖掘其一些隐含条件，
5、灵活采用相应的解题策略,则往往可以简化或避免分类讨论的步骤，从而实现解题过程的优化，提高解题的正确率。1.着眼全局整体，减少讨论次数例1.设a&gejO,在复数集C中解方程。分析：此题一般是通过设Z二x+yi（x,y∈R）来解，原方程化为，即，对x=0或y二0进行分类，然对x,y的符号进行讨论，再后还要对a的取值范围进行分类，这样多的分类，在解题过程中有可能就会出现错误。利用整体思想,对方程作整体变形，则可减少讨论的次数和层次，迅速并正确获得方程的解。解：原方程变形为∈R,(把看成一个整体)∴Z为实数或纯虚数。(1)若Z为
6、实数，贝0,此时原方程可化为，解得Z=±；o(2)若Z为纯虚数，设Z=±ri(r∈R),此时原方程可化为(a≥O),原方程当0≤a≤l时Z二±或Z二±；a>l时无纯虚数解。1.等价变形转换，避开分类讨论例2.设对所有的实数x,不等式+2x+>0恒成立，求实数a的取值范围。分析：本题的常规解法要分两类来解，一是二次项系数为0时，二是二次项系数大于0时。而第一种情况往往遗漏，第二种情况即，但运算复杂，出错机率大，我们可以通过等价变形，避免分类讨论，使问题简单化。解：不等式+2x+
7、>0可等价变形为〉，而，是绝对不等式，要使原不等式恒成立，只要成立，很快能解得2.变更主要变元，解脱繁琐讨论例3・设函数f(x)=x,设常数b<—1,且对任意x∈,f(x)<0恒成立，求实数a的取值范围。分析：这题的一般解法是：由f(x)<0,即x<-b,V-b>0,x=0时恒成立，因此只要研究x∈时，恒成立，即，恒成立，分两种情况、利用抛物线图彖对称轴对a分类讨论，显然分类讨论次数多，麻烦且容易产生错误，如能利用分离变量和整体思想，变更主要变元a,—方面避免分类讨论，也能提高解题的正确性。解：V—b>0,x=0时x<—b恒成立，x&i
8、sin;时要使恒成立，只要对x∈恒成立，即，由(1)Vb<0,g(x)二在x∈时为增函数，∴a>g(1)=l+b；Vb<—1,h(x)二在上为减函数，a0)椭圆上一点可设M(2bcosα,bsin&alp
9、ha;),==,根号内化为以sinα为变元的二次三项式，sinα∈,对参数b分类讨论，运算显然复杂。能否构造辅助图形，借助图形的盲观性，能很容易求出满足条件的bo解：以P(0,)为圆心，为半径作圆，正好与椭圆相切，切点到P(0,)的距离就是椭圆上的点到P的最远距离。该圆方程为，椭圆方程为，联立方程组消去x得，两曲线有切点，即△=(),解之。椭圆方程为。当然，在学习“分类讨论”这一重要思想方法的同时，我们要注意的是，我们既要学会使用这种解题方法，通过不断的训练熟悉这种方法，努力克服分类讨论过程中容易出现的主观性和盲目性错误，
10、也要注意简化乃至避免分类讨论,以达到优化解题过程的目的。
