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时间:2018-11-14
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1、对“分类讨论”的再思考江苏省溧水县第二高级中学高虎英(邮编211200)在研究和解决数学问题时,当问题所给对象不能进行统一研究,我们就需要根据数学对象的木质属性的相同点和不同点,将对象区分为不同种类,然后逐类进行研究和解决,从而达到解决整个问题的目的,这一思想方法,我们称它为“分类讨论的思想”.分类讨论木质上是“化整为零,积零为整”的解题策略.引起分类讨论原因,通常有以下几种:①涉及的数学概念是分类定义的(如
2、x
3、的定义,P点分线段的比等);②公式、定理、性质或运算法则的应用范围受到限制;③几何图形中点、线、面的相对位置不确定;④求解的数学问题的结论有多种
4、情况或多种可能性;⑤数学问题中含有参变量,这些参变量的不同取值会导致不同结果.分类讨论的一般步骤是:(1)确定讨论对象和确定研究的全域;(2)进行科学分类(按照某一确定的标准在比较的基础上分类),“比较”是分类的前提,“分类”是比较的结果.分类时,应不重复,不遗漏;(3)逐类讨论;(4)归纳小结,整合得出结论.分类讨论的方法是解决数学问题常用的方法,因分类讨论牵涉的面多,解题过程中容易出错,因此也要注意指导学牛.辩证地分析数学问题,不要盲目、机械地进行分类讨论。事实上,有不少含有分类因素的数学题,如果能够在着手讨论前对问题作一番深入研宄,挖掘其一些隐含条件
5、,灵活采用相应的解题策略,则往往可以简化或避免分类讨论的步骤,从而实现解题过程的优化,提高解题的正确率。1.着眼全局整体,减少讨论次数例1.设a≥0,在复数集C中解方程。分析:此题一般是通过设Z=x+yi(X,y∈R)来解,原方程化为,即,对x=0或y=0进行分类,然对x,y的符号进行讨论,再后还要对a的取值范围进行分类,这样多的分类,在解题过程中奋可能就会出现错误。利用整体思想,对方程作整体变形,则可减少讨论的次数和层次,迅速并正确获得方程的解。解:原方程变形为∈R,(把看成一个整体)∴Z为实数或纯虚数。(1)若Z
6、为实数,贝ij,此吋原方程可化为,解得Z=±;o(2)若Z为纯虚数,设Z=±ri(r∈R),此吋原方程可化为(a≥O),原方程当0≤a≤l时Z=±或Z=±;a〉l吋无纯虚数解。1.等价变形转换,避开分类讨论例2.设对所有的实数X,不等式+2x+〉0恒成立,求实数a的取值范围。分析:本题的常规解法要分两类来解,一是二次项系数为0吋,二是二次项系数大于0吋。而第一种情况往往遗漏,第二种情况即,但运算复杂,出错机率大,我们可以通过等价变形,避免分类讨论,使问题简单化。解:不等式+2
7、x+〉0可等价变形为〉,而,是绝对不等式,要使原不等式恒成立,只要成立,很快能解得00,x=0吋恒成立,因此只要研究x∈吋,恒成立,即,恒成立,分两种情况、利用抛物线图象对称轴对a分类讨论,显然分类讨论次数多,麻烦且容易产生错误,如能利用分离变量和整体思想,变更主要变元a,—方面避免分类讨论,也能提高解题的正确性。解:•.•一b〉0,*=0吋*
8、<一1)恒成立,x∈吋要使恒成立,只要对x∈恒成立,即,由(1)Vb<0,g(x)=在x∈吋为增函数,∴a〉g(1)=l+b;Vb<—1,h(x)=在上为减函数,a9、a;,bsinα),==,根号内化为以sinα为变元的二次三项式,sinα∈,对参数b分类讨论,运算显然复杂。能杏构造辅助图形,借助图形的直观性,能很容易求出满足条件的bo解:以P(0,)为圆心,为半径作圆,正好与椭圆相切,切点到P(0,)的距离就是椭圆上的点到P的最远距离。该圆方程为,椭圆方程为,联立方程组消去x得,两曲线有切点,即△=(),解之。椭圆方程为。当然,在学习“分类讨论”这一重要思想方法的Ml吋,我们要注意的是,我们既要学会使用这种解题方法,通过不断的训练熟悉这种方法,努力克服分类讨论过程中容易出10、现的主观性和盲S性错误,也要注意简化乃至避免分类讨论,以达到优化解
9、a;,bsinα),==,根号内化为以sinα为变元的二次三项式,sinα∈,对参数b分类讨论,运算显然复杂。能杏构造辅助图形,借助图形的直观性,能很容易求出满足条件的bo解:以P(0,)为圆心,为半径作圆,正好与椭圆相切,切点到P(0,)的距离就是椭圆上的点到P的最远距离。该圆方程为,椭圆方程为,联立方程组消去x得,两曲线有切点,即△=(),解之。椭圆方程为。当然,在学习“分类讨论”这一重要思想方法的Ml吋,我们要注意的是,我们既要学会使用这种解题方法,通过不断的训练熟悉这种方法,努力克服分类讨论过程中容易出
10、现的主观性和盲S性错误,也要注意简化乃至避免分类讨论,以达到优化解
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