高等数学方明亮版课件2.3 高阶导数.ppt

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1、第三节高阶导数第二章三、一些常见函数的高阶导数公式二、高阶导数的定义一、基本求导法则与导数公式复习四、高阶导数的运算法则（DerivativeofHigherOrder）五、本章小结与思考题8/12/20211一、基本求导法则与导数公式复习1.常数和基本初等函数的导数8/12/202122.函数的和、差、积、商的求导法则(C为常数)3.反函数的求导法则单调可导,则4.复合函数求导法则5.初等函数在定义区间内可导,且导数仍为初等函数8/12/20213求解:例1（习题2－27（9））例2设求（补充题）（解答见下页）8/12/20214求解:例2设8/12/20215求解:关键:搞清

2、复合函数结构由外向内逐层求导例38/12/20216二、高阶导数的定义（DefinitionofHigherDerivatives）速度即加速度即引例：变速直线运动8/12/20217若函数的导数可导,或即或类似地,二阶导数的导数称为三阶导数,阶导数的导数称为n阶导数,或的二阶导数,记作的导数为依次类推,分别记作则称定义8/12/20218三、一些常见函数的高阶导数的求法例1设求解：1.直接法求高阶导数就是多次接连地求导数.例2求的n阶导数.解：8/12/20219解2.数学归纳法证明高阶导数例3设求8/12/202110求解:一般地,类似可证:例4设8/12/202111例5设

3、求解若为自然数，则8/12/202112解:例6设（补充题）8/12/202113都有n阶导数,则(C为常数)及设函数四、高阶导数的运算法则莱布尼兹(Leibniz)公式8/12/202114用数学归纳法可证莱布尼兹公式成立.8/12/202115求解:设则代入莱布尼兹公式,得例78/12/202116内容小结1.复习基本求导法则与导数公式(1)逐阶求导法(2)利用归纳法(3)间接法——利用已知的高阶导数公式2.高阶导数的求法如,(4)利用莱布尼兹公式8/12/202117课后练习习题2-31（2）（6）；3；6（4）思考与练习1.如何求下列函数的n阶导数?解:8/12/2021

4、18（2）提示:解:8/12/202119求使存在的最高分析:但是不存在.2又阶数2.设8/12/202120则提示:各项均含因子(x–2)(2)已知任意阶可导,且时提示:则当3.（填空题）（1）设8/12/202121导出解：同样可求4.试从（习题2－34）8/12/202122考研真题（2000.II）求函数在x＝0处的n阶导数提示：利用莱布尼兹公式8/12/202123