高等数学方明亮7.7 方向导数与梯度课件.ppt

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1、第七节方向导数与梯度第七章(DirectionalDerivativeandGrads)一、方向导数二、梯度三、小结与思考练习7/28/20211一、方向导数定义若函数则称为函数在点P处沿方向l的方向导数.在点处沿方向l(方向角为)存在下列极限:记作7/28/20212则函数在该点沿任意方向l的方向导数存在,证明:由函数且有在点P可微,得故定理7/28/20213对于二元函数为,)的方向导数为特别:•当l与x轴同向•当l与x轴反向向角7/28/20214提示:提示:7/28/20215二、梯度方向导数公式令向量这说明方向：f变化率最大的方向模:f的

2、最大变化率之值方向导数取最大值：7/28/20216即同样可定义二元函数称为函数f(P)在点P处的梯度记作(gradient),在点处的梯度说明:函数的方向导数为梯度在该方向上的投影.向量定义7/28/20217提示:提示:7/28/202187/28/20219内容小结1.方向导数•三元函数在点沿方向l(方向角的方向导数为•二元函数在点的方向导数为沿方向l(方向角为7/28/2021102.梯度•三元函数在点处的梯度为•二元函数在点处的梯度为3.关系方向导数存在偏导数存在••可微梯度在方向l上的投影.7/28/202111习题7－71；2；5；7；9

3、课外练习思考练习1.设函数(1)求函数在点M(1,1,1)处沿曲线在该点切线方向的方向导数;(2)求函数在M(1,1,1)处的梯度与(1)中切线方向的夹角.7/28/202112曲线1.(1)在点函数沿l的方向导数M(1,1,1)处切线的方向向量解答提示:7/28/2021137/28/202114指向B(3,－2,2)方向的方向导数是.在点A(1,0,1)处沿点A提示:则(96考研)2.函数7/28/202115在点处的梯度解:则注意x,y,z具有轮换对称性(92考研)3.函数7/28/202116