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《高等数学课件--d9_7方向导数与梯度》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第九章第七节一、方向导数二、梯度三、物理意义方向导数与梯度9/5/2021同济版高等数学课件一、方向导数定义:若函数则称为函数在点P处沿方向l的方向导数.在点处沿方向l(方向角为)存在下列极限:记作9/5/2021同济版高等数学课件定理:则函数在该点沿任意方向l的方向导数存在,证明:由函数且有在点P可微,得故9/5/2021同济版高等数学课件对于二元函数为,)的方向导数为特别:•当l与x轴同向•当l与x轴反向向角9/5/2021同济版高等数学课件例1.求函数在点P(1,1,1)沿向量3)的方向导数.解:向量l的方向余弦为9/5/202
2、1同济版高等数学课件例2.求函数在点P(2,3)沿曲线朝x增大方向的方向导数.解:将已知曲线用参数方程表示为它在点P的切向量为9/5/2021同济版高等数学课件例3.设是曲面在点P(1,1,1)处指向外侧的法向量,解:方向余弦为而同理得方向的方向导数.在点P处沿求函数9/5/2021同济版高等数学课件二、梯度方向导数公式令向量这说明方向：f变化率最大的方向模:f的最大变化率之值方向导数取最大值：9/5/2021同济版高等数学课件1.定义即同样可定义二元函数称为函数f(P)在点P处的梯度记作(gradient),在点处的梯度说明:函数的方向
3、导数为梯度在该方向上的投影:向量其中称为向量微分算子或Nabla算子.(为方向l上的单位向量)9/5/2021同济版高等数学课件2.梯度的几何意义称为函数f的等值线或等高线.则L*上点P处的法向量为举例函数在一点的梯度垂直于该点等值线,指向函数增大的方向.同样,的等值面(等量面).当其各偏导数不同其上点P处的法向量为称为时为零时,9/5/2021同济版高等数学课件等高线图举例这是利用数学软件Mathematica绘制的曲面及其等高线图,带阴影的等高线图中,亮度越大对应曲面上点的位置越高等高线图带阴影的等高线图9/5/2021同济版高等数学
4、课件例4.设函数解:(1)点P处切平面的法向量为在点P(1,1,1)处的切平面方程.故所求切平面方程为即(2)求函数f在点P(1,1,1)沿增加最快方向的方向导数.求等值面(2)函数f在点P处增加最快的方向为沿此方向的方向导数为思考:f在点P处沿什么方向变化率为0?注意:对三元函数,与垂直的方向有无穷多9/5/2021同济版高等数学课件3.梯度的基本运算公式9/5/2021同济版高等数学课件例5.证:试证处矢径r的模,9/5/2021同济版高等数学课件三、物理意义函数(物理量的分布)数量场(数性函数)场向量场(矢性函数)可微函数梯度场(势
5、)如:温度场,电势场等如:力场,速度场等(向量场)注意:任意一个向量场不一定是梯度场.9/5/2021同济版高等数学课件例6.已知位于坐标原点的点电荷q在任意点试证证:利用例5的结果这说明场强:处所产生的电势为垂直于等势面,且指向电势减少的方向.9/5/2021同济版高等数学课件内容小结1.方向导数•三元函数在点沿方向l(方向角的方向导数为•二元函数在点的方向导数为沿方向l(方向角为9/5/2021同济版高等数学课件2.梯度•三元函数在点处的梯度为•二元函数在点处的梯度为3.关系方向导数存在偏导数存在••可微梯度在方向l上的投影.方向:f
6、变化率最大的方向模:f的最大变化率之值•梯度的特点9/5/2021同济版高等数学课件练习P130题16提示:P1072，3，6，7，8，9，10作业第八节9/5/2021同济版高等数学课件备用题1.函数在点处的梯度解:则注意x,y,z具有轮换对称性(1992考研)9/5/2021同济版高等数学课件指向B(3,－2,2)方向的方向导数是.在点A(1,0,1)处沿点A2.函数提示:其单位向量为(1996考研)9/5/2021同济版高等数学课件
