高等数学 习题--方向导数与梯度

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1、章节题目第七节方向导数与梯度内容提要方向导数的概念及计算梯度的概念与几何意义重点分析方向导数的计算梯度概念的理解难点分析梯度概念的理解梯度的几何意义习题布置2、4、7、10备注9教学内容一、问题的提出实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热．假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比．在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）爬行．二、方向导数的定义讨论函数在一点P沿某一方向的变

2、化率问题．设函数Z=f(x,y)在点P(x,y)的某一领域U(P)内有定义,自点P引射线L,设x轴正向到L射线的转角为,并设(x+)为L上的另一点且当沿着趋于时,是否存在？记为依定义，函数在点沿着轴正向、轴正向的方向导数分别为；定理　如果函数在点是可微分的，那末函数在该点沿任意方向9L的方向导数都存在，且有，其中为轴到方向L的转角．证明由于函数可微，则增量可表示为两边同除以得到设为cos,为sin故有方向导数例1求函数在点处沿从点到点的方向的方向导数.解这里方向即为,故轴到方向的转角.所求方向导数例2求函数在点（1，1）沿与轴方向夹角为的方向射线的方向导数.并

3、问在怎样的方向上此方向导数有（1）最大值；（2）最小值；（3）等于零？解由方向导数的计算公式知9故（1）当时，方向导数达到最大值;（2）当时，方向导数达到最小值;（3）当和时，方向导数等于0.推广可得三元函数方向导数的定义对于三元函数，它在空间一点沿着方向L的方向导数，可定义为（其中）设方向L的方向角为同理：当函数在此点可微时，那末函数在该点沿任意方向L的方向导数都存在，且有例3设是曲面在点处的指向外侧的法向量，求函数在此处沿方向的方向导数.解令故方向余弦为9故三、梯度的概念定义设函数在平面区域D内具有一阶连续偏导数，则对于每一点，都可定出一个向量，这向量称为

4、函数在点的梯度，记为.设是方向上的单位向量，由方向导数公式知其中当时，有最大值.结论：函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为方向导数的最大值．梯度的模为.当不为零时，轴到梯度的转角的正切为　．9在几何上表示一个曲面曲面被平面所截得所得曲线在xoy面上投影如图等高线梯度为等高线上的法向量等高线的画法9例如,梯度与等高线的关系：函数Z=f(x,y)在点p(x,y)的梯度的方向与点p的等高线f(x,y)=c在这点法线的一个方向相同，且从数值较低的等高线指向数值较高的等值线，而梯度的模等于等于函数在这个法线方向上的方向导数。梯

5、度的概念可以推广到三元函数三元函数在空间区域G9内具有一阶连续偏导数，则对于每一点，都可定义一个向量(梯度)类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值.类似地,设曲面为函数的等量面，此函数在点的梯度的方向与过点P的等量面在这点的法线的一个方向相同，且从数值较低的等量面指向数值较高的等量面，而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数.例4求函数在点处的梯度，并问在哪些点处梯度为零？解由梯度计算公式得故在处梯度为0.四、小结1、方向导数的概念（注意方向导数与一般所说偏导数的区别）2、梯度的概念（注意梯度是一个向量

6、）3、方向导数与梯度的关系9思考题讨论函数在点处的偏导数是否存在？方向导数是否存在？思考题解答同理：故两个偏导数均不存在.沿任意方向的方向导数,故沿任意方向的方向导数均存在且相等.9