资源描述：
《随机过程及其应用.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第二章分枝过程一、母函数假设X是取非负整数值的随机变量，且P(X=k)=k=0,1,…，则称级数p(s)=为随机变量的母函数，(
2、s
3、)例1：设X是参数为的普阿松数分布，则其母函数p(s)=(
4、s
5、<)例2：设x~B(n,p),即x是二项式分布，则其母函数p(s)=(ps+q)母函数有如下一些性质：定理2.1：设随机变量x的母函数为p(s)则有（1）E(x)=（1）（2）若E(x),则Var(x)=P(1)+P(1)-(p(1))例如对普阿松随机变量x,因为E(x)<所以,E(x)=P(1)=,var(x)=P(1)+P(1)-(P(1))=定理2.2：设x与y相互独立，且
6、f(s),g(s)分别为其母函数，则x+y的母函数h(s)=f(s)g(s).推论2.1：设x(1),…x(n)是相互独立的取非负整数的随机变量，x(i)的母函数为f(s),则x(1)+…+x(n)的母函数为f(s)f(s)…f(s)例3：x,y,z相互独立，分别是B(3,p),B(5,p),B(6,p)的二项式分布，则x+y+z~B(14,p).定理2.3：设N,x(1),…x(n)…都是取非负整数的随机变量且相互独立，x(1),…x(n)…具有共同的分布，其母函数为f(s),N的母函数为g(s),令当N>0时,x=x(1)+…+x(N),当N=0时，x=0则x的母函数为
7、h(s)=g(f(s))注:x的母函数与其分布函数1-1对应所以对于一个取非负整数值的随机变量x,只要知道了它的母函数其分布也就完全知道了。二、分枝过程设有一个反应堆，最初有n(0)个质点，由于质点之间的相互碰撞或其它射线的轰击，每隔一单位时间，一个质点可分离成k个质点（k=0,1,2…)并设（1）这些质点的分离情况是相互独立的，具有共同分布（2）质点的分离情况与其年龄无关Z(n+1,i)表示时刻n存在的第i个质点在下一时刻(n+1)时刻分离出的质点数。X(n)表示n时刻反应堆中的质点数，则有X(0)=n(0)X(1)=Z(1,1)+Z(1,2)＋…+Z(1,n(0))X(
8、2)=Z(2,1)+Z(2,2)+…Z(2,x(1)）…………….X(n+1)=Z(n+1,1)+Z(n+1,2)+…+Z(n+1),x(n))上面的假设（1）、（2）说明{z(n+1,i),i1,n0}是一族相互独立具有共同分布的取非负整数的随机变量。令其共同分布为p(k)=P(z(n,i)=k)(k0,i1,n0),其母函数f(s)=则称{x(n),n0}是一个初始状态为n(0)的以f(s)为本原母函数的分枝过程。定理2.4:设{x(n),n0}如上所设，令f(n,s)为x(n)母函数，(n)=E(x(n)),=var(x(n)),则(1)f(1,s)=f(s)(2)f
9、(n+1,s)=f(n,f(s))(n0)(3)(1)=n(0),其中=f(1)=E(Z(n,i))(4)(5)(6)当1时,当=1时，从定理2.4可知，只要f(s)已知，则{X(n),n0}的一切信息都知道了。对于某一时刻n,若x(n)=0,则该过程就灭绝了。下面来讨论过程灭绝的概率因为{X(n)=0}{x(n+1)=0}所以0P(x(n)=0)P(x(n+1)=0)1,即{P(x(n)=0),n=1,2,…}是一个单调有界序列，故其极限一定存在。我们称这个极限limP(x(n)=0)＝为{x(n),n0}的绝灭概率，显然定理2.5设{x(n),n0}是一个初始状态为1的
10、以f(s)=p(0)+p(1)s+…为本原母函数的分枝过程。为其绝灭概率，则(1)=f()(2)当1,p(1)<1时有=1(3)当1<时,是s=f(s)在[0,1)内的唯一解例4：设{x(n),n0}是以初始状态为1的以f(s)=p/(1-qs)为本原母函数的分枝过程，其中01.此时是方程s=f(s)在[0,1)内的唯一解.解这一方程s=p/(
11、1-qs)得=p/q定理2.7:设{x(n),n0}是一个初始状态为n(0)的以f(s)为本原母函数的分枝过程,是{x(n),n0}的绝灭概率，则证明：设y(n,i)表示初始时刻的第i个质点，在时刻n时所产生的反应堆中的质点数(i=1,2,…,n(0)).显然，对任意的n,x(n)=y(n,1)+y(n,2)+…+y(n,n(0))且y(n,1),y(n,2),…,y(n,n(0)独立同分布所以p(x(n)=0)=P(y(n,1)+…+y(n,n(0))=0)=P(y(n,1)=0,Y(n,2)=0,…,y(n,n
