统计51节-数理统计的基本概念PPT.pdf

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1、第5章数理统计的基本概念§5.1基本概念总体和样本总体——研究对象全体元素组成的集合所研究的对象的某个(或某些)数量指标的全体,可把它看成一个随机变量(或随机向量).记为X.X的分布函数和数字特征称为总体的分布函数和数字特征.个体——组成总体的每一个元素即总体的每个数量指标,可看作随机变量X的某个取值.用X表示.i样本——从总体中抽取的部分个体.用(X1,X2,,Xn)表示,n为样本容量.称(x1,x2,,xn)为总体X的一个容量为n的样本观测值,或称样本的一个实现.样本空间——样本所有可能取值的集合.简单随机样本若总体X的样

2、本(X,X,,X)满足:12n(1)X,X,,X与X有相同的分布12n(2)X,X,,X相互独立12n则称(XX,,,X)为简单随机样本.12n一般,对有限总体,放回抽样所得到的样本为简单随机样本,但使用不方便,常用不放回抽样代替.而代替的条件是N/n10.总体中个体总数样本容量设总体X的分布函数为F(x),则样本(X,X,,X)的联合分布函数为12nn为什么?F样(,xx12,,xni)Fx()i1若总体X为离散随机变量,则样本的联合分布列为nPX样(11x,,Xnxn)PX(xi)i1若总体X的密度

3、函数为f(x),则样本的联合密度函数为nf样(,xx12,,xni)fx()i1例1设某批产品共有N个,其中次品数为M,则其次品率为pM/N设p是未知的,从这批产品中任取一个产品,用随机变量X来描述它是否是次品:1,所取的产品是次品X0,所取的产品不是次品X服从参数为p的0-1分布,可用如下表示x1x方法:f(x,p)p(1p),x0,1设有放回地抽取一个容量为n的样本(XX,,,X)12n其样本值为(,,xxx,)12n样本空间为{(x,x,,x)x0,1,i1,2,,n}12ni(XX,,,X)

4、的联合分布为12nnf样(,xx12,,xni)fx()i1nnxiinxppii11(1)若抽样是无放回的,则前次抽取的结果会影响后面抽取的结果.例如M1p1NNP(X1X1)p21N111NMpNP(X1X0)p21N111N结论：当样本容量n与总体中个体数目N相比很小时,可将无放回抽样近似地看作放回抽样.经验分布函数设xx12,,,xn是取自总体分布函数为Fx()的样本值，若将样本观测值由小到大进行排列为x(1),x(2),,x()n，则x(1),x(2),,

5、x()n称为有序样本，定义以下函数0,xx,(1)*kFx(),xxx,k1,2,,n1.n()k(k1)n1,xx,()n满足分布函数称之为经验分布函数。的一切性质！*xx对固定的x，Fxn()是样本中事件“i”n*的频率，当固定时，Fxn()是样本的函数，它是一个随机变量。定理1.3.2（格里纹科定理）设xx12,,,xn是取自总体分布函数为Fx()*的样本，Fxn()为其经验分布函数，则有*P(limsup

6、Fx()Fx()

7、0)1.nnx定理表明：当n充分大时，经验分布

8、函数是总体分布函数很好的近似。频率直方图（1）确定组数（由样本容量大小确定通常取5-20组）（2）确定组距（由组数和最大最小值之差确定）（3）确定组限（xaidi,0,1,...,k）（4）统计频数，计算频率（5）作图茎叶图茎叶图的外观很像横放的直方图，但是茎叶图增加了具体的数值，从而保留了数据中的全部信息。统计量定义设(X1,X2,,Xn)是取自总体X的一个样本,g(r1,r2,,rn)为一实值连续函数,且不含有未知参数,则称随机变量g(X,X,,X)为统计量.12n若(x,x,,x)是一个样本值,12n称gxx(

9、,,12,xn)为统计量g(X,X,,X)的一个样本值12n22例2X~N(,),,是未知参数,(X1,X2,,Xn)是一样本,则nn1122XXii,SXXnnii1112是统计量,其中X~N(,)in12但2Xi不是统计量!i1若,已知,则为统计量.常用的统计量设(X,X,,X)是来自总体X的容量12n为n的样本,称统计量1n(1)XXi为样本均值ni1n122(2)SXiX为样本方差n1i1n12SXiX为样本标准差n1i1n1k(3)

10、AXki为样本的k阶原点矩ni1n1k(4)BXX为样本的k阶中心矩kini1例如AX1nn1122*2B2SXiXSnni1*2S也称为样本方差。定义：=B/B3/2称为样本偏度，132=B/B2-3称为