浅析分类讨论思想.doc

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1、浅析分类讨论思想分类讨论是一种逻辑方法，也是一种数学思想。分类讨论的思想方法与中学数学的关系比较密切，在数学学习中,经常遇到需要进行分类讨论的问题。分类讨论的思想方法在近几年高考试题中也频繁的出现，已经成为高考命题的热点。分类讨论的思想方法就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究得山每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答。其实质就是“化整为零，各个击破，再积零为整”。分类讨论的原则：（1）对象耍确定（2）标准耍统一（3）层次要分明（4）不重也不漏分类讨论的步骤：（1）确定分类讨论的对象：即

2、对哪个参数进行讨论；（2）对所讨论的对象进行合理的分类（分类时要做到不重复、不遗漏、标准要统一、分层要分明）；（3）逐类讨论：即对各类问题进行详细的讨论，逐步去解决所遇到的问题；（4）归纳总结，得岀结论：最后将各类情况归纳总结，得到问题的答案。进行分类讨论的常见类型：类型一：由数学概念引起的分类讨论例1已知集合■若■求&的值分析：由题意可知，集合b有可能为空集，也有可能不是空集，故要对集合b的情况进行分类讨论。解：由题意可知，集合(1)当・(2)当・综上所述，a二0或&二・总结：由概念引发的分类讨论一般由概念的内涵或外延所决定，常见的还有绝对值的定义，直

3、线的倾斜角与斜率的关系,直线的截距是否为零，指数函数，对数函数等等，这类分类讨论的问题要求熟练掌握并理解概念的内涵与外延。类型二：由性质、定理、公式等引起的分类讨论例2■则x得取值范围是o分析：由对数函数的性质可知当a〉l时，函数■为增函数；当0分类讨论。解：当0当8〉1时，■综上所述，当01时，总结：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论是不同的。由性质、定理、公式等引起的分类讨论，主要是应用的范围受限制，存在多种多样的可能性，在不同的条件下有不同的结论。常见的有初等函数的单调性的决定因素，等比数列前n项和中的公比，直线的方程的一般式

4、等等。类型三：由参数的变化引起的分类讨论例3解关于x的不等式・。分析：含参数的不等式，解吋要对参数不同取值情况进彳亍分类讨论，以求得完整的解法和正确的结论。解：方程■的根为・。1）当汛1时，有・，此时不等式的解集为■2）当03）当沪0或沪1时，有■，此时不等式的解集为・。综上，当al时，原不等式的解集为■当0当沪0或沪1时，原不等式的解集为・。总结：某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值耍运用不同的求解或证明方法。由参数的变化引起的分类讨论，应该全面的分析参数的变化引起结论的变化情况，参数有几

5、何意义时还要考虑充分的运用数形结合思想，分类时耍做到条理清晰，不重不漏。常见的还有求与指数函数和对数函数的复合函数的单调性时要注意底数a的取值。类型四：由图形引起的分类讨论例4设k为常数实数，则方程■表不的曲线是分析：从题目中方程的形式不能确定方程表示曲线的具体形式，由于k的取值不同，方程表示的曲线有多种可能性，有可能是椭圆,有可能是圆，有可能是双曲线，还有可能是直线，所以应该对方程进行分类讨论来确定方程的具体形式。解：（1）当甘4时，原方程化简为■,曲线表示直线。（2）当k二8吋，原方程化简为■,曲线表示直线。（3）当■时，原方程化简为%1当■时，曲线

6、表示双曲线%1当■时，曲线表示椭圆%1当k=6时，曲线表示圆%1当■时，曲线表示椭圆%1当■时，曲线表示双曲线综上所述，方程■表示的曲线是（1）当k二4或k二8时，表示直线；（2）当E6时，曲线表示圆；（3）当■或■时，曲线表示椭圆；（4）当■或■时，曲线表示双曲线。总结：由图形引起的分类讨论，需要对图形的各种形式和变化考虑全面，各个分析，各个讨论。常见的有：二次函数的是与否，二次函数的对称轴位置的变动，正弦函数与余弦函数图像的各种形式，立体几何中点、线、面得位置关系，角的终边所在的象限，椭圆与双曲线，双曲线的一支与二次函数的图像等等。类型五：由运算引起

7、的分类讨论例5设数列■是以&为首项，以q为公比的等比数列。若b二l-a-aia-、、、、、、-a,c二2-1）-―、、、、、、-b,■试用表示b和c分析：在等比数列中数列的通项公式以及前n项的和公式都与公比q有关。当q=l时，等比数列的运算可以等同于等差数列。当・时，只能用等比数列的公式进行运算。解：当q二1时,当■时，■,综上所述，当q二1时，■,当■时，■,总结：由运算引起的分类讨论，一般出现在应用公式的选择或者在计算的时候牵扯到符号不确定，这时就耍注意用进彳亍分类讨论To在这种类型中还常见的知识点有：三角函数计算中角的终边所在的象限，诱导公式的选择

8、，直线的斜率，除法运算屮除数不为零,偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数运