分类讨论思想.doc

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1、第三讲　分类讨论思想[思想方法解读]　分类讨论思想是一种重要的数学思想方法，其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略.1.中学数学中可能引起分类讨论的因素：(1)由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线的倾斜角等.(2)由数学运算要求而引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负数，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式中两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域，等比数列{an}的前n项和公式等.(3)由性质、定理、公式的限制而引起的

2、分类讨论：如函数的单调性、基本不等式等.(4)由图形的不确定性而引起的分类讨论：如二次函数图象、指数函数图象、对数函数图象等.(5)由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或者由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等.2.进行分类讨论要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论.其中最重要的一条是“不重不漏”.3.解答分类讨论问题时的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不重不漏、分类互斥(没

3、有重复)；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论.常考题型精析题型一　由概念、公式、法则、计算性质引起的分类讨论例1　设集合A＝{x∈R

4、x2＋4x＝0}，B＝{x∈R

5、x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，a∈R}，若B⊆A，求实数a的取值范围.　　点评　对概念、公式、法则的内含及应用条件的准确把握是解题关键，在本题中，B⊆A，包括B＝∅和B≠∅两种情况.解答时就应分两种情况讨论，在关于指数、对数的运算中，底数的取值范围是进行讨论时首先要考虑的因素.变式训练1　若函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值

6、为m，且函数g(x)＝(1－4m)在[0，＋∞)上是增函数，则a＝________.题型二　分类讨论在含参函数中的应用例2　已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在x∈[0,1]上有最大值2，求a的值.　点评　本题中函数的定义域是确定的，二次函数的对称轴是不确定的，二次函数的最值问题与对称轴息息相关，因此需要对对称轴进行讨论，分对称轴在区间内和对称轴在区间外，从而确定函数在给定区间上的单调性，即可表示函数的最大值，从而求出a的值.变式训练2　(2015·江苏)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b(a，b∈R).(1)试讨论f(x)的单调性；(2)若b＝c－a(实数c是与a无关

7、的常数)，当函数f(x)有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是(－∞，－3)∪∪，求c的值.　　　　题型三　根据图形位置或形状分类讨论例3　在约束条件下，当3≤s≤5时，z＝3x＋2y的最大值的变化范围是(　　)A.[6,15]B.[7,15]C.[6,8]D.[7,8]点评　几类常见的由图形的位置或形状变化引起的分类讨论(1)二次函数对称轴的变化；(2)函数问题中区间的变化；(3)函数图象形状的变化；(4)直线由斜率引起的位置变化；(5)圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化；(6)立体几何中点、线、面的位置变化等.变式训练3　设F1、F2为椭圆＋＝1的两个焦

8、点，P为椭圆上一点，已知P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，且＞，求的值.　　高考题型精练1.对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－1)f′(x)≥0，则必有(　　)A.f(0)＋f(2)<2f(1)B.f(0)＋f(2)≤2f(1)C.f(0)＋f(2)≥2f(1)D.f(0)＋f(2)>2f(1)2.已知数列{an}的前n项和Sn＝pn－1(p是常数)，则数列{an}是(　　)A.等差数列B.等比数列C.等差数列或等比数列D.以上都不对3.已知变量x，y满足的不等式组表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数k等于(　　)A.－B.C.0D.－或04.(20

9、14·四川)设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则

10、PA

11、＋

12、PB

13、的取值范围是(　　)A.[，2]B.[，2]C.[，4]D.[2，4]5.(2015·大连模拟)抛物线y2＝4px(p>0)的焦点为F，P为其上的一点，O为坐标原点，若△OPF为等腰三角形，则这样的点P的个数为(　　)A.2B.3C.4D.66.在等比数列{an}中，已知a3＝，S3＝，则a1＝________.7.已知函数f(x)＝ax3－3x＋1对于x∈[－1,1]总有f(