分类讨论思想.doc

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1、分类讨论思想在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．　例3（2012•黔东南州）我州某教育行政部门计划今年暑假组织部分教师到外地进行学习，预订宾馆住宿时，有住宿条件一样的甲、乙两家宾馆

2、供选择，其收费标准均为每人每天120元，并且各自推出不同的优惠方案．甲家是35人（含35人）以内的按标准收费，超过35人的，超出部分按九折收费；乙家是45人（含45人）以内的按标准收费，超过45人的，超出部分按八折收费．如果你是这个部门的负责人，你应选哪家宾馆更实惠些？考点：一次函数的应用。分析：当x≤35时，选择两个，宾馆是一样的；当35＜x≤45时，选择甲宾馆比较便宜，当x＞35时，两个宾馆的收费可以表示成人数x的函数，比较两个函数值的大小即可．解答：解：设总人数是x，当x≤35时，选择两个，宾馆是一样的；当35

3、＜x≤45时，选择甲宾馆比较便宜；当x＞45时，甲宾馆的收费是：y甲=35×120+0.9×120×（x﹣35），即y甲=108x+420；y乙=45×120+0.8×120（x﹣45）=96x+1080，当y甲=y乙时，108x+420=96x+1080，解得：x=55；当y甲＞y乙时，即108x+420＞96x+1080，解得：x＞55；当y甲＜y乙时，即108x+420＜96x+1080，解得：x＜55；总之，当x≤35或x=55时，选择两个，宾馆是一样的；当35＜x＜55时，选择甲宾馆比较便宜；当x＞55时，

4、选乙宾馆比较便宜．点评：此题的关键是用代数式列出在甲、乙两宾馆的费用，用了分类讨论的方法，是解决此类问题常用的方法．例4（2012•丽水）在△ABC中，∠ABC=45°，tan∠ACB=．如图，把△ABC的一边BC放置在x轴上，有OB=14，OC=，AC与y轴交于点E．（1）求AC所在直线的函数解析式；（2）过点O作OG⊥AC，垂足为G，求△OEG的面积；（3）已知点F（10，0），在△ABC的边上取两点P，Q，是否存在以O，P，Q为顶点的三角形与△OFP全等，且这两个三角形在OP的异侧？若存在，请求出所有符合条件的

5、点P的坐标；若不存在，请说明理由．考点：一次函数综合题。分析：（1）根据三角函数求E点坐标，运用待定系数法求解；（2）在Rt△OGE中，运用三角函数和勾股定理求EG，OG的长度，再计算面积；（3）分两种情况讨论求解：①点Q在AC上；②点Q在AB上．求直线OP与直线AC的交点坐标即可．解答：解：（1）在Rt△OCE中，OE=OCtan∠OCE==，∴点E（0，2）．设直线AC的函数解析式为y=kx+，有，解得：k=．∴直线AC的函数解析式为y=．（2）在Rt△OGE中，tan∠EOG=tan∠OCE==，设EG=3t，

6、OG=5t，OE==t，∴，得t=2，故EG=6，OG=10，∴S△OEG=．（3）存在．①当点Q在AC上时，点Q即为点G，如图1，作∠FOQ的角平分线交CE于点P1，由△OP1F≌△OP1Q，则有P1F⊥x轴，由于点P1在直线AC上，当x=10时，y=﹣=，∴点P1（10，）．②当点Q在AB上时，如图2，有OQ=OF，作∠FOQ的角平分线交CE于点P2，过点Q作QH⊥OB于点H，设OH=a，则BH=QH=14﹣a，在Rt△OQH中，a2+（14﹣a）2=100，解得：a1=6，a2=8，∴Q（﹣6，8）或Q（﹣8，

7、6）．连接QF交OP2于点M．当Q（﹣6，8）时，则点M（2，4）．当Q（﹣8，6）时，则点M（1，3）．设直线OP2的解析式为y=kx，则2k=4，k=2．∴y=2x．解方程组，得．∴P2（）；当Q（﹣8，6）时，则点M（1，3），同理可求P2′（），P3（）；如图，有QP4∥OF，QP4=OF=10，点P4在E点，设P4的横坐标为x，则点Q的横坐标为x﹣10，∵yQ=yP，直线AB的函数解析式为y=x+14，∴（x﹣10）+14=﹣x+2，解得：x=，可得：y=，∴点P4（，），当Q在BC边上时，如图，OQ=OF

8、=10，点P5在E点，∴P5（0，2），综上所述，满足条件的P点坐标为（10，）或（）或（）或（，）或（0，2）．点评：此题考查一次函数的综合应用，运用了分类讨论的数学思想方法，综合性强，难度大．