2009概率论与数理统计试题及答案.doc

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1、考研数学冲刺·概率论与数理统计一、基本概念总结1、概念网络图2、最重要的5个概念（1）古典概型（由比例引入概率）例1：3男生，3女生，从中挑出4个，问男女相等的概率？例2：有5个白色珠子和4个黑色珠子，从中任取3个，问其中至少有1个是黑色的概率？（2）随机变量与随机事件的等价（将事件数字化）例3：已知甲、乙两箱中装有两种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品。从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求：（1）乙箱中次品件数X的数学期望。（2）从乙箱中任取一件产品是次品的概率。例4：将一枚均匀硬币连掷三次，以X表示三次试验中出现正面的次数，Y表示出现正面的次数与出现反

2、面的次数的差的绝对值，求（X，Y）的联合分布律。（3）分布函数（将概率与函数联系起来）（4）离散与连续的关系例5：见“数字特征”的公式。（5）简单随机样本（将概率和统计联系在一起）样本是由n个同总体分布的个体组成的，相当于n个同分布的随机变量的组合（n维随机变量）。例6：样本的是已知的，个体（总体）的未知，矩估计：54，完成了一个从样本到总体的推断过程。二、做题的18个口诀（概率15个，统计3个）1、概率（1）题干中出现“如果”、“当”、“已知”的，是条件概率。例7：5把钥匙，只有一把能打开，如果某次打不开就扔掉，问第二次打开的概率？（2）时间上分两个阶段的，用“全概公式”或者“贝叶

3、斯公式”。例8：玻璃杯成箱出售，每箱20只，设各箱含0，1，2只残次品的概率分别为0.8,0.1和0.1。一顾客欲购买一箱玻璃杯，由售货员任取一箱，而顾客开箱随机地察看4只；若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。试求：（1）顾客买此箱玻璃杯的概率；（2）在顾客买的此箱玻璃杯中，确实没有残次品的概率。（3）“只知次数，不知位置”是“二项分布”。例9：抛5次硬币，其中有3次正面朝上的概率？例10：1对夫妇生4个孩子，2男2女的概率？（4）“先后不放回取”≡“任取”，是“超几何分布”。例11：5个球，3红2白，先后不放回取2个，2红的概率？例12：5个球，3红2白，任取2个，2红的概率？

4、（5）“先后放回取”是“二项分布”。例13：5个球，3红2白，先后放回取5个，2红的概率？（6）求随机变量函数的分布密度，从分布函数的定义入手。例14：设X的分布函数F(x)是连续函数，证明随机变量Y=F（X）在区间（0，1）上服从均匀分布。（7）二维随机变量的概率分布从两个事件相交的本质入手。，。（8）二维连续型随机变量的边缘分布由画线决定积分的上下限。例15：设二维连续型随机变量（X，Y）在区域D上服从均匀分布，其中求X的边缘密度。（9）求二维连续型随机变量的函数分布或者某个区域内的概率，由画图计算相交部分（正概率区间和所求区域的交集）的积分。例16：设随机变量（X，Y）的分布密

5、度为试求U=X-Y的分布密度。（10）均匀分布用“几何概型”计算。例17：设随机变量（X，Y）的分布密度为：，试求P(X+Y>1)。（11）关于独立性：对于离散型随机变量，有零不独立；对于连续型随机变量，密度函数可分离变量并且正概率密度区间为矩形。54（12）二维随机变量的期望E(X)、E(Y)和方差D(X)、D(Y)，由边缘分布来求。例19：设，为两个随机事件,且,,,令求(Ⅰ)二维随机变量的概率分布;(Ⅱ)与的相关系数;(Ⅲ)的概率分布.（13）相关系数中的E(XY)，对于离散型随机变量，根据XY的一维分布来求；对于连续型随机变量，按照函数的期望来求。例20：连续型随机变量：E(

6、XY)＝（14）应用题：设Y为题干中要求期望的随机变量，a为最后题目所求，然后找Y与X的函数关系，再求E(Y)。例21：市场上对商品需求量为X～U（2000，4000），每售出1吨可得3万元，若售不出而囤积在仓库中则每吨需保养费1万元，问需要组织多少货源，才能使收益的期望最大？（15）切比雪夫大数定律要求“方差有界”，辛钦大数定律要求“同分布”。2、统计（1）似然函数是联合密度或者联合分布律。连续型：离散型：例22：设总体X的概率分别为其中θ（0<θ<）是未知参数，利用总体X的如下样本值：3，1，3，0，3，1，2，3求θ的矩估计值和最大似然估计值。（2）“无偏”求期望，“有效”求方

7、差，“一致”不管它。例23：设是总体的一个样本，试证（1）（2）（3）都是总体均值u的无偏估计，并比较有效性。（3）标准正态、分布区间估计和假设检验取关于y轴对称的分位数，、分布取面积对称的分位数。54三、选择题常考的5个混淆概念1、乘法公式和条件概率例24：100个学生，60个男生，40个女生，棕色头发30个，棕色头发的男生10个，任取一个学生，是棕色头发的男生的概率？已知取了一个男生，是棕色头发的概率？2、独立和互斥设A≠ø,B≠ø，则A和B相互独立与