数值分析例题II.ppt

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1、五、六章内容小结典型例题分析练习题分析课外练习题数值分析典型例题II若插值结点x0,x1,…,xn是(n+1)个互异点,则满足插值条件P(xk)=yk(k=0,1,···,n)的n次插值多项式P(x)=a0+a1x+……+anxn存在而且惟一。多项式插值存在唯一性定理Laglarge插值公式插值基(k=0,1,2,······,n)插值误差(余项)其中,注记1:n次多项式插值的插值结点最佳选择是(n+1)次切比雪夫多项式零点。已知x0,x1,···,xn处的值f(x0),···,f(xn).(j=0,1,···

2、···,n-1)(j=0,1,…,n-2)均差定义牛顿插值公式(k=1,2,···,n)注记2:均差具有对称性：牛顿插值余项(j=0,1)三次Hermite插值给定[a,b]的分划:a=x0

3、nn(x)数据拟合的线性模型离散数据xx1x2··········xmf(x)y1y2··········ym超定方程组超定方程组最小二乘解:例1.设x0，x1，……，xn是互异的插值结点，l0(x)为对应于x0的拉格朗日插值基函数，试证明xx0x1··········xnf(x)10··········0证由基函数插值条件计算差商··················代入牛顿插值公式,并注意插值误差为零,则有例2.设x0,x1,x2,…,xn为互异的结点,求证Lagrange插值基函数满足下列恒等式(1)(2)(k=

4、1,···,n)证:(1)令在插值结点处Pn(xj)=0(j=0,1,2,···,n)n次多项式Pn(x)有n+1个相异零点Pn(x)=0所以将f(x)=xk(k≤n)代入,得(k=0,1,2,······,n)问题:f(x)是(n+1)次多项式且最高次项系数为1，取互异的插值结点x0，x1，……，xn，构造插值多项式Pn(x)，证明：f(x)=Pn(x)+(x–x0)(x–x1)……(x–xn)(2)取f(x)=xkf(n+1)(x)=0Rn(x)=0例3.设P(x)是不超过n次的多项式,而n+1(x)=(

5、x–x0)(x–x1)······(x–xn)证明存在常数Ak(k=0，1，…，n)使得证由n次多项式插值得其中证明:F[x0,x1,······,xn]=例4.记n+1(x)=(x–x0)(x–x1)······(x–xn)(j=1,2,···,n)对比Lagrange插值和Newton插值中xn的系数,得F[x0,x1,······,xn]=例5.如果X*是方程组GTGX=GTb的解，则X*是超定方程组GX=b的最小二乘解证由题设,有GT(b–GX*)=0.对任意n维向量Y，故

6、

7、b–GY

8、

9、2≥

10、

11、b–GX*

12、

13、

14、2等式仅当Y=X*时成立。所以X*是超定方程组GX=b的最小二乘解。Ex1次埃尔米特插值的适定性问题,给定插值条件：f(x0)=y0，f’(x1)=m1，f(x2)=y2，插值结点应满足什么条件能使插值问题有唯一解。思考:带导数条件的二次插值多项式公式适定性f(0)=y0，f(1)=y1，f’(0)=m0；解:设H(x)=a0+a1x+a2x2,H’(x)=a1+2a2xEx2.求矩阵广义逆G+=(GTG)-1GTEx3.求矩阵条件数Cond=Ex4*.设利用分部积分法证明Ex5.如果x∈[a,b],t∈[-1,

15、1],(1)用线性插值方法推导联系两个区间的映射(2)对于t∈[-1,1]上的二次正交多项式将其转换为x∈[a,b]上的二次正交多项式Ex6.一个量x被测量了n次,其结果是a1,a2,···,an.用最小二乘法确定超定方程组x=aj(j=1,2,···,n)x的值为多少？Ex7*.给定五个观测值yj(j=–2，–1，0，1，2)写出求二次拟合函数P(t)=a0+a1t+a2t2的超定方程组系数矩阵，并求广义逆.简化情况:求线性拟合函数.证取拟合函数:Ex8.验证线性回归公式xx1x2··········xmyy1y2·

16、·········ymy=a+bx其中b=lxy/lxx,显然Ex9*在区间[0，1]上取m+1个等距点(k=0,1,······,m)对抛物线y=x2做线性拟合.考察极限情况Ex10*若x0,x1,x2是互异结点,利用二次拉格朗插值基确定范德蒙矩阵的逆矩阵