数值分析综合例题

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1、第二章线性方程组的直接解法2第三章解线性方程组的迭代法6第五章非线性方程和方程组的数值解法8第六章插值法与数值微分12第七章数据拟合与函数逼近16第八章数值积分19第九章常微分方程的数值解法2432第二章线性方程组的直接解法1、用LU分解法求如下方程组的解（1），（2）解：（1）（2）322、对4阶矩阵进行LU分解解：3、用高斯列主元素消去法解线性方程组①②解：对增广矩阵进行初等行变换①同解方程组为回代求解得此种方法叫高斯消去法，下面用高斯列主元素消去法32得同解方程组回代求解得②得同解方程组回代得324、用Jordan消去法解矩阵方程，其中：，解：容易验证，故A可逆，

2、有.因此，写出方程组的增广矩阵，对其进行初等变换得5、用LU分解法求解如下方程组解：3232第三章解线性方程组的迭代法1、若Jacobi迭代收敛，求的范围解：（1）、时的Jacobi迭代矩阵Jacobi迭代收敛（2）、Jacobi迭代矩阵=32Jacobi迭代收敛2、讨论的Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代的收敛性其中，解：Jacobi迭代法的迭代矩阵则Jacobi迭代收敛Gauss-Seidel迭代矩阵Gauss-Seidel迭代发散3、讨论下列迭代法的收敛性①的G-S迭代②解：①32②，故B的谱半径，由迭代法收敛的充分必要条件知该迭代格式收敛32第五章非

3、线性方程和方程组的数值解法1、给定函数，设对一切，存在且证明：，迭代过程均收敛于的根证明：的等价形式为则对应的迭代函数易证有根，故迭代过程收敛于的根2、证明：所产生的序列收敛于的根证：①考虑区间所得序列收敛于的根②，将看作新的迭代初值，则由①知序列必收敛于的根3、利用适当的迭代格式证明32证：考虑迭代式则显然记迭代函数1°2°由迭代法的全局收敛定理（压缩映像原理）知所产生序列收敛于的根在上解方程得惟一根x=2。4、研究求的牛顿公式证明：对一切，且单调递减，从而收敛。分析，令由牛顿公式证：32单调递减有下界，必收敛5、设，应如何选取才能使迭代式具有局部收敛性解：迭代格式局

4、部收敛，设迭代序列的极限值为，则有得当由局部收敛定理知迭代格式局部收敛于当由局部收敛定理知迭代格式局部收敛于6、给出计算的迭代公式，讨论迭代过程的收敛性并证明解：令其中，中有n条分数线则：令32显然，我们不妨在上讨论迭代式的收敛性ⅰ：ⅱ：ⅲ：由全局收敛定理（压缩映像原理）所得序列必收敛于方程的根。解方程得即：32第六章插值法与数值微分1、设，且，求证证：以为插值节点进行线性插值，其插值多项式为由插值余项定理2、试构造一个三次Hermite插值多项式，使其满足：解：（法一）首先构造如下的基函数表函数值导数值01011000010000100001则：32（法二）：令则3、

5、确定一个不高于四次的多项式H(x)，使得：解：（法一）首先构造如下的基函数表函数值导数值012011000001000001000001000001则：32（法二）令则得4、求三次多项式，使得解：令则5、求一个次数3的多项式，使得，，解：令32则由（1）得由（2）得由（3）得（5）由（1）得（6）把、代入（5）、（6）得、6、给出概率积分的数据表如下：0.460.470.480.490.4846550.4937450.5027500.511668试用拉格朗日插值法计算时，该积分值等于多少？解：记将看成的函数，以为插值节点作的3次插值多项式:32当时，概率积分7、利用在处

6、函数值计算的近似值并估计误差.解：过点（100，10）、（121，11）、（144，12），令则的二次Lagrange插值多项式32第七章数据拟合与函数逼近1、用最小二乘法求一个形如的经验公式，使它与下列数据相拟合192531384419.032.349.073.397.8解：（法一）建立超定方程组即：解得（法二）利用公式建立正规方程组322、求形如的经验方式，使它能和下表数据相拟合1.001.251.501.752.005.105.796.537.458.46解：对经验方式作变换，有，令，为了用最小二乘法求出转化为1.001.251.501.752.001.6291.

7、7561.8762.0082.135（法一）建立超定方程组即：得正规方程组32即：解之得：3、解超定方程组解：由得正规方程组即：32解之得32第八章数值积分1、用复化梯形求积公式求的近似值，问要将分成多少等分才能保证结果有四位有效数字，若用复化抛物线公式呢？解：要求结果有四位有效数字此处误差要使只需若用复化抛物线公式，则故：用复化梯形求积公式至少需要41等分才能保证结果有四位有效数字，而用复化抛物线公式只需2等分就可以保证结果有四位有效数字。2、对于积分，当要求误差小于时，用复化梯形公式计算所需节点数是多少？解：32要使，只需即：要使误差