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1、绪论：例已知，作为＝3.141592…的近似值，试分别求出它们有效数字的位数及相对误差限解：（1）<3.142－3.14159＝0.00041<0.5×10-33.142＝0.3142×101，1－n＝－3，∴n＝4∴3.142有4位有效数字（2）<0.000593<0.5×10-2∴1-n=-2∴n=3∴3.141有3位有效数字∴当3.141作为的近似数时有3位有效数字，不具有4位有效数字，3.14有效，千分位1不是有效数字。练习已知x1＝2.71，x2＝2.72，x3＝2.7181作为e＝2.718
2、28…的近似值，求这3个近似数的有效数字的位数。（n＝2，3，4）推论1对于给出的一个有效数，其绝对误差限不大于其末位数字的半个单位。推论2若近似值x=±0.a1a2…an*10m(其中a1≠0)具有n位有效数字，则其相对误差≤。证明：∵x=±0.a1…an*10m∴
3、x
4、≥a1*10m-1又x具有n位有效数字，则
5、x-x*
6、≤
7、e*r
8、=∴n越大，
9、e*r
10、就越小，一般应用中取=例1：求的近似值，使其相对误差不超过。解：=2.4494……取=2，设x*=有n位有效数字，由推论2，=≤，∴n=4，取x*
11、=2.449练习：要使的近似值相对误差不超过0.1%，则至少要求几位有效数字？解：设x*=，其近似数x具有n位有效数字，其相对误差限满足=≤0.1%n≥3.097∴n=4例1求有效数3.150950，15.426463,568.3758,7684.388之和。解∑＝……=8271.341213而这和的绝对误差限为2*0.5*10-6+0.5*10-4+0.5*10-3≈0.5*10-3∴∑应舍入成8271.341最末3位的计算没有意义，合理的做法是将小数位较多的各位数按小数位最少的位数多取1位作舍入处理
12、，再相加3.1510+15.4265+568.3758+7684.388=8271.34133*0.5*10-4+0.5*10-3＝0.00065<0.5*10-2和8271.3413舍入至小数后2位得8271.34例2：求x2+()x+109=0的根，求根公式x=,=-109,=－1b==－0.1*1010-0.0000000001*1010=-0.1*1010(设为八位机运算)b2-4ac=1018-4*1*109=0.1*1019=1018x1,2=换一种算法注意：（1）大量运算时，可能很大。(举
13、例，如高考估分)（2）两个相差很大的数进行加减时，要防止大数“吃”小数现象，在多个数求和时，如果被加数的绝对值之间差异较大，且包含许多绝对值较小的数，则应按绝对值从小到大的次序相加。（3）要避免两个相近数相减例：cos20=0.9994,但1－cos20=0.0006却只有一位有效数字……，遗失有效位。为避免这种情况，改变计算公式(当x很大)sin(x+)-sinx=2cos(x+)sinlnx1-lnx2=ln(当x与x2接近时)4.2y=a*x(a为常数)易知
14、
15、=
16、a*
17、≤
18、a
19、*，若a增大，则
20、
21、
22、也增大（4）避免小数作除数和大数作乘数（5）尽量简化计算步骤，减少运算次数。例如，如果直接计算x255的值须进行254次乘法运算若采用公式x255＝x*x2*x4*x8*x16*x32*x64*x128，只需做14次乘法运算（6）注意运算次序例计算解算法一:D1=A/B=0.17647D的真值为0.16948148…，只精确到小数后一位算法二:a=0.0005/0.0003≈1.666667b=0.0143/0.0125=1.14400c=0.0012/0.0135≈0.088889D2=abc=…=
23、0.169482,则D1精确到小数后五位例计算（n=0,1,2,3…）,解用分部积分公式得递推式:。用四位有效数字计算:I0=0.6321,,,,,,,,.估算In故,。于是I7，I8与精确值已经面目全非，一位有效数字也没有。这是由于如果I0有误差，(其截断误差,不计中间再产生的舍入误差，该误差随着计算过程分别乘以2,3…7,8，到I8时已经变成了，误差扩大了4万倍。因而该算法不是稳定的。如果换一种算法，将递推式改为，取n=9,∵∴由I9，逐步计算I8,I7…直到I0=0.6321,。计算结果有四位有效
24、数字，如果I9有误差，其传播到I0所引起的误差仅为。故该算法是稳定的。练习序列{yn}满足递推关系yn=10yn-1－1（n=1，2，…）,若y0＝（3位有效数字），计算到y10时误差有多大？这种算法是稳定的吗？解由此递推关系每计算一次，其结果误差比上一次增长10倍，故算法是不稳定的。例证明方程1－x－sinx＝0在区间[0，1]内有唯一实根，如果使用二分法求该区间内的根，且误差不超过0.5×10－4，试问需要二分区间[0，1]多少次？证明
