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1、第26卷第2期忻州师范学院学报Vo.l26No.22010年4月JOURNALOFXINZHOUTEACHERSUNIVERSITYApr.2010分数阶微积分的一些性质及证明张慧琛(忻州师范学院,山西忻州034000)摘要:分数阶微积分的概念,作为微积分理论的发展早已提出,它是研究分形,分形函数,分形分析的重要工具。而分数阶微积分的定义有各种不同形式,文章给出了分形函数的一种重要的分数阶积分和分数阶微分定义,且针对这种分数阶微积分的定义研究了它的一些性质。关键词:分形函数;分数阶;分数阶微分;分数阶积分中图分类号:O174.1文献标识码:A文
2、章编号:1671-1491(2010)02-0020-031基本概念1mtdm--1=!(t-x)f(x)dx关于分数阶微积分的定义有各种不同形式,下面我们给(m-)dt0mt出它的一种常用定义,Riemann-Liouville分数阶微积分。=1d!xm--1f(t-x)dx(m-)dt0定义1.1设f在(0,+)上连续,即fC(0,+),且在(m-1<∃m)(1.4)J=[0,+)的任何有限子区间上可积,对t>0,Re()>0n当=n为正整数时,Df(t)=Df(t)为普通意义下的n称t阶微分,也称为n阶导数。但当不是正整数时,整数阶微-v1-1Df(t)=(
3、)!0(t-x)f(x)dx(1.1)分与分数阶微分是不同的,例如,对常数的分数阶微分不为为函数f(t)的阶Riemann-Liouville分数阶积分(简零,事实上1dmt-t-1Df(t)=DC=(t-x)m--1%Cdx称R-L积分)。其中()=etdt为伽马函数。显!!0(m-)dt0然,(1.1)可以改写为:1m-1dm-t=C%(t-x)
4、01t(m-)dtm---1Df(t)=()!0xf(t-x)dx(1.2)m1dCm-=t-ntt(m-)dtm-当=n为正整数时,Df(t)=f(t)dt∀dt为普通意义!0!0Ct-=(m-1<
5、∃m)下的n次积分,也称为n阶积分。(1-)我们结合上面的阶Riemann-Liouville分数阶积分的2分数阶微分与积分的一些性质定义以及经典微积分中的整数阶微分可以给出如下的阶Riemann-Liouville分数阶微分是常用的分数阶微分定Riemann-Liouville分数阶微分的定义:义,我们针对这一定义及Riemann-Liouville分数阶积分定定义1.2设fC,>0,m是大于或等于的最小正义讨论有关它们的一些性质。整数,记=m-#0。则称由定义不难证明它满足下列性质:m-Df(t)=D[Df(t)],>0,t>0(1.3)设f(t),g(t)是满足定
6、义1.1的函数,c,!为任一常数,为函数f的阶Riemann-Liouville分数阶微分。,,∀为分数,Re()>0,Re()>0,Re(∀)>0,则:应用定义1.1可得阶Riemann-Liouville分数阶微分性质1:D(f(t)+g(t))=Df(t)+Dg(t)如下:性质2:D(af(t))=aDf(t)tm-m1-1!(!+1)!-Df(t)=D[Df(t)]=D(t-x)f(x)dx性质3:,Dt=t,当1∃-!∃m为整()0!(!-+1)收稿日期:2009-09-18作者简介:张慧琛(1982-),女,山西忻州人,忻州师范学院数学系助教,从事分形几何
7、研究。第2期张慧琛:分数阶微积分的一些性质及证明21数时,D(t!)=0。n-1akk=&t=Qn(t,0)证明:k=0(k+1)!1dmtm--1!同理可证后面几个式子。Dt=(t-x)xdx(m-)dt!0性质5:当N为正整数,为分数时,DN+f(t)=DNDf(t).(m-1<∃m)证明:设=m-且m为大于的最小正整数x1m1dm--1!则=y!t(t-ty)(ty)dyt(m-)dt0DN+f(t)=DN+m[D-f(t)]1mdm-+!DNDf(t)=DN[Dm(D-f(t))]=DN+m[D-f(t)]=tB(!+1,m-
8、)(m-)dt所以m1dm-+!(!+1)(m-)N+N=tDf(t)=DDf(t).(m-)dt(m-+!+1)-性质6:DDf(t)=f(t)(!+1)!-=(!-+1)t证明:!DD-f(t)=DmD-[D-f(t)]=DmD-(+)f(t)特别地,当1∃-!∃m为整数时,D(t)=m-m(!+1)mm-(-!)=DDf(t)=f(t)(m-1<∃m且=m-)D(t)=0得证。(m-+!+1)-NN-性质7:
