分数阶微积分的历史背景

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1、分数阶微积分的历史背景历史背景分数阶微积分的出现己有300多年的历史，几乎古典微积分的概念刚被提出，分数阶微积分就受到众多学者的青睐。1695年，法国的L’Hospital函询GWLeibnitz，问到导数的阶数为分数时如何理解？特别提到n=1/2时d^ny/dx^n的含义是什么?这距Leibnitz发表首篇微积分论文仅11年，它显然是一个难以回答的问题。不过Leibnitz还是于1695年9月30日复了一函．说了一些似是而非的猜测以后，他写道，“你可以这样看，分数导数可以在两整数阶导数的阶数之间引入某种插入法(interpolation)”．这一点

2、虽然也是猜测，但毕竟用现在的手段做到了，这封信历史上不止一次公开发表．此后大致分为三个阶段：(1)自L’Hospital与Leibnitz从1695年通信到1812年这期间，虽然有Euler，Bernoulli等大家关注，分数微积分仍然只是纯数学的一些议论和猜想。(2)1812～1974年这个时期从逐渐提出分数微积分的相关概念、名词，到给出确切定义和性质，导出了为数不多但确有见地的实际应用，并于1974年出版了第一本分数微积分的专著。期间，首先是1812年Laplace用积分定义一个分数导数．1819年，他首次提到“任意阶导数”名词．同年Laeroi

3、x给出当时，1822年Fourier用他自己的函数的积分表示定义的任意阶导数为：N.H.Abel在1823年求解一个积分方程的过程中涉及到了分数阶微积分。特别是1832年，Liouville才给出了分数阶导数的第一个合理的定义，Liouville在给出第一个应用例子的同时，给出了两个公式，其中之一是由Gamma函数定义即在一些假定之下，对，定义的阶导数而Riemann在1847年对分数阶微积分的定义作了进一步的补充，在他逝世后的28年，即1892年，发表了他在学生时代研究的分数积分理论。对，遗著给出的公式为这与现在的R-L定义只差了一个Riemann

4、称之为“补充函数”的．他附加的原意是想对不同的积分下限予以调整．几经争论，终于去掉。此后，又有Weyl,Erdel，Sler，Letnikov等数学家对分数阶微积分进行过专门的研究。1868～1872年间，Letnikov有4篇推导分数为积分的专论，提供了很好的分析与代数技巧。Sonin在莫斯科数学通报中提出“任意指标的微分”。所有这些学者共同奠定了今天普遍认可的R-L分数微积分基础。1892年，另一个重要的进步是来Heavisid的线性微分方程的算子解法．当他用L变换式去得到逆变换时，得到微分算子并且运用于电路理论之中，最终人们还是把他的算子方法与

5、分数微积分和分数微分方程很好地联系起来。概括的说分数阶微积分最早有系统化的研究是由Liouville(1832),Riemann(1853)和Holmgren(1864)在19世纪初期和中叶完成的，但Grunwald和Krug最先统一了Liouville和Riemann分数阶微积分定义。而针对分数阶微积分，后来人们又提出许多不同的定义，例如Grunwald分数阶微积分，Weyl-Marchaud分数阶微积分，局部分数阶微分，Caputo分数阶微分等等。并针对这些定义，类似经典微积分的研究，研究了有关它们的一些性质。然而，由于分数阶微积分缺少明确的物理

6、意义且应用前景不明朗而发展缓慢。(3)1974年迄今1974年以后，分数微积分与分数微分方程无论是应用还是理论上都有飞速发展，应用面越来越宽，出现了许多专著和论文集，至少有20种以上，开始呈现全面推广常微分方程乃至泛函微分方程的分数阶理论．由于在应用数学、材料力学、生物物理学等方面提出分数阶微积分的应用背景，分数阶微积分才被人们重视，特别是到1982美籍法国数学家曼德尔布罗特((B.B.Mandelbrot)首次指出自然界和许多技术科学中存在大量分数维的事实，并在整体与部分之间存在自相似现象以后，分数阶微积分作为分形几何和分数维动力学的基础和有力工具

7、才获得了飞跃的发展，并在松弛、振荡、控制系统、扩散和输运理论、生物组织、高分子材料的解链、混沌与湍流、随机游走、统计与随机过程、粘弹性力学及非牛顿流体力学、电化学等诸多领域得以应用。M.Zahle,N.Patzschke在应用分数阶微积分于分形集方面作了很多工作，首先把分数阶微积分应用于研究自仿函数，得到了自仿函数的可导临界阶，并且深入研究了自仿函数的分数阶微积分变换的阶与计盒维数上界的关系，获得了很好的结果;其次，把分数阶微积分理论有机的应用到随机过程、自仿随机过程等方面，取得了深入的结果。而这些领域的应用研究反过来又促进了分数阶微积分的理论研究的

8、进一步发展，成为当前国际上的一个热点研究课题，相信随着学科融合和细化的速度的不断加快，分数阶微积分将会有更加