证明三角不等式的非常规方法_陆志昌.pdf

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1、199年第6期中学数学月刊_、++1+久1、,>。,、2>。).(1(l=(1(与与+)(1+Xy入1黑1’八2卫、_1+2又11+2久2—里二垫()()二y=几2久l几2_、几,bla、、a,/几/几几b‘一百一‘一=l+2z+2/丁丫一产又a一了了少+/丁下一丁(b一了产万一)几12几()()Vl宁入21十八1‘VI十八11十人2=1+2几1+几2+4几1几2()丫五乙=5+2久,+几25+4=9())石币玉十了不丫反及,.一时(‘+,(‘+,的丫(11+2:当x=y告士去+久)(1入),。,.又+又+2厂百万又最小

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3、()难以奏效或过于繁琐本文试图介绍除常规sxlxZ方法以外的一些技巧方法.Zcocossinxl+xZ()1放缩法cosxl一xZ+cosxl+xZ()(),在证明三角不等式的过程中常常需要一tg三卫,把分式中分子或分母放大或缩小使不等式端豁岛宁..得证这种方法通常叫做放缩法一f(王卫).,,,宁例1已知f(,)一tg二二”若创韵2合成法,,,,在证明一些关于字母对称的三角不等式二1xZ”且二1并xZ证明创韵,,时我们可先证明或引用一个对称不等式然〔f(X,f(XZ)〕>f),,告卜户告二后将字母依次轮换得一组不等式然后

4、将不等式组相加(或相乘),从而可使问题获证.这(1994年高考试题).种方法叫做合成法’l,,匹Z,证明:xx2任(0且x1共x,:例2在锐角三角形中求证2..snsnsCo:0<(x;一x2)<1iA+iB+inC>sA+cosB+cos3学月刊1999年第6期4中学数COsC.,A+B/十‘0品少Zcos’,’,旱得尹+少)2x2少于是(xZ十少)2-2·inA一BA十B,c06,,.’.

5、1~2>22少)2x2少即1)4x2y2月-下一下弓二斗22x-COSx‘甥犷一..AB、n,。一,2、COS币万乏十工”’工一”妥弓芳.’..sinA+sinB>CC6A+c06B因此(一‘,(一‘,,sinB+SinC>B+C甄同理coscos六赢sinA+sinC>CO6A+。。5C.5辅助函数法,,三式相加除以2即得不等式和函数有着广泛的联系函数的.,sinA+sinB+sinC>CosA+。。sB+增减性是通过不等式体现的因此在证明某,,cosC些三角不等式时可引人辅助函数通过对函3分数性质的研究来达到证明不等

6、式的目的.解法,,,,,这种方法与合成法相反将不等式分解已知a“y任(0)求证:‘ga例5,晋为几个不等式的和或积再利用不等式的有1一tg夕)+tg尹(1一tg了)+馆)(1一tga)关性质,达到证明的目的.(<1.,a例3设是锐角求证,,,.,任O、,‘、、,证明月()11晋气1+)又1十)2〕SlnaCOSa,,..’tgatg尹tg,y任(O1)‘.’—,.‘.,a—0

7、l-〔()(二一1、一>1这时二二,>1馆a=tg+tg)一1a+tgtgy+121,)](夕)堪(尹COSaSlSlnan乙a..一一—、,二tg夕tgy)11气1十)、i一aa.SlnaCOSa即f(tg)是关于tg的一次函数.—11—2·’.f(二tgtg了+1一tg一tg)=1一卞十>5O)月月snaSlnaCOSaiZ,—=(1一tg月)(1一tg了)>04换元法—,f(1)=(tg尹+tg了一1)+(tg夕tg了+1通过用新的变量替换原来的变量从而一一=.使问题获得解决.tg夕tg幻tg夕tgy>0,一1)(

8、一1))9.由一次函数的图象是直线的性质当例4求证(a,,,lx>O’tg任(0S舟lnQC今OS’口)时恒有f()故原不等式s,,.证明令x二in。y=。则有成立cos,xZ+于是6平均值不等式法少=1(一‘,‘一‘,某些三角不等式应用代数中的平均值不众众等式来证较简捷.设。<‘:<二,求证2二‘9圣三,例6翔纽n