卡诺定理的证明_董艳红.pdf

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1、第27卷第4期佳木斯大学学报(自然科学版)Vol.27No.42009年07月JournalofJiamusiUniversity(NaturalScienceEdition)July2009文章编号:1008-1402(2009)04-0629-03¹卡诺定理的证明董艳红(佳木斯大学,黑龙江佳木斯154007)摘要:介绍了普通物理热学中卡诺定理的三种证明方法并加以比较,其中给出利用克劳修斯不等式证明的新方法,简便、易懂.关键词:卡诺定理;证明方法;热力学第二定律;热机效率+中图分类号:O552.422文献标识码:A0引言2卡诺定理证明方法卡诺定理是法国工程师卡诺在十九世纪

2、中叶2.1根据热力学第二定律的克劳修斯表述证明发表的一篇论文提出的,主要说明热机循环效率大小的问题,即工作在相同的两个高低温热源之间的设有甲乙两部可逆机,高温热源T1,低温热源一切热机,不可逆机的效率不可能大于可逆机的效AAcT2,甲机的效率G=;乙机的效率为G=.适率,一切可逆热机的效率均相等且为最高.卡诺定QQc理的证明在教学中既是重点也是难点,证明方法很当选择循环次数,使NA=NcAc,则甲:G=A=Q1多,本文给出逻辑性较强的三种证明方法并加以比NAAcNcAc较,同时介绍了一种简洁易懂的证明方法.;乙:Gc==NQ1Qc1NcQc11卡诺定理内容1)证明定理第一条

3、欲证G=Gc,则先证GZG,再证GcZG,_G=Gc(1)在相同的高温热源和相同的低温热源间工证明:反证法:(1)设G>Gc,作的一切可逆热机其效率相等,与工作物质无关.NANcAc(2)在相同的高温热源和相同的低温热源间工则有NQ>,1NcQc1作的一切不可逆热机其效率不可能大于可逆机效率,与工作物质无关.NQ10又^NA=NQ1-NQ2^NcQc2-NQ2>0NcAc=NcQc1-NcQc2^NcQc1-NQ1=NcQc2-NQ2NA=NcAc若把甲机的N次正循环和乙机的Nc次逆循环可证得GcZG.因此必证得G=Gc.即证明了卡诺看作

4、是一个总的联合机循环,联合机循环自动的把定理第一条.热量NcQc2-NQ2从低温热源传至高温热源,因此2)证明定理第二条违反了热力学第二定律的克劳修斯表述(T1>若两部机中有一部为不可逆机,即当设甲机不T2),如图1所示,故假设不成立,即有GZGc.可逆时,根据前面证明只有(1)结果,即只有GZ同样方法,(2)设Gc>G,则令甲机做N次逆Gc,而没有(2)的结果,即不能得到结论GcZG.同循环,乙机做Nc次正循环,此时联合机循环的结果时,若G=Gc时,则两部机都是可逆机,与假设甲¹收稿日期:2009-06-15作者简介:董艳红(1970-),女,黑龙江佳木斯人,佳木斯大学副

5、教授,主要从事热学和热力学统计学方面研究和教学工作.630佳木斯大学学报(自然科学版)2009年机不可逆相矛盾,所以只有G

6、条是GcZG,欲证明GcZG,采用反证法,则假设Gc>GNcWcNW再根据效率的定义得>,则得NcWcNQc1NQ1>NW,因为NW=NQ1-NQ2,NcWc=NcQc1-NcQc2,甲、乙两卡诺机组成联合机,甲机作逆循环,如能量转换图3可知:NcWc-NW=NcQc2-NQ2违背热力学第二定律的开尔文表述,故假设Gc>G不成立,所以有GcZG,卡诺定理的第二条得证.(2)若设A机不可逆,作正循环,B机可逆,作逆循环时,同上可证得GZGc.若再考虑卡诺定理第二条,即GcZG,故得Gc=G,卡诺定理第一条得证.2.2根据热力学第二定律开尔文表述证明W2Q2设甲机效率G=1-=

7、1-;乙机效率GcQ1Q1Wc2Qc2=1-=1-Qc1Qc11)调整卡诺机循环次数,使得甲、乙两机与低温热源交换的热量相同,即设NQ2=NcQc2(1)若甲机不可逆,在能量图中正循环,乙机图3能量转换图可逆,作逆循环,欲证GZGcQc2Q22.3根据克劳修斯不等式证明反证法,则设G>Gc,即>,调整N次Qc1Q1dQNcQc2NQ2热力学中克劳修斯不等式为[0,其中对循环后有>,则NQ1-NcQc1>0,又因RTNcQc1NQ1于可逆微小过程取等号,不可逆微小过程取不等号.为1)证明卡诺定理第一条:NW-NcWc