最高考系列 高考总复习2014届高考数学总复习课时训练基础过关+能力训练选修4－5　不等式选讲第2课时　不等式证明的基本方法.doc

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1、最高考·高考全程总复习（一轮）数学教师用书·课时训练选修4－5　不等式选讲第2课时　不等式证明的基本方法(理科专用)1.求不等式

2、x＋1

3、＋

4、x－2

5、>5的解集．解：不等式等价于或或解得x∈(－∞，－2)∪(3，＋∞)．2.求函数f(x)＝3x＋(x>0)的最小值．解：f(x)＝3x＋＝＋＋≥3＝9.3.已知x、y∈R＋，且＋＝1，求x＋y的最小值．解：已知x、y∈R＋，且＋＝1，有x＋y＝(x＋y)·＝＋＋10≥2＋10＝16，当且仅当＝即x＝4，y＝12时，取“＝”．∴x＋y的最小值为16.4.已知x2＋y2＝1，求3x＋4y的最大值．解：(

6、换元法)由x2＋y2＝1，可设x＝cosα，y＝sinα，则3x＋4y＝3cosα＋4sinα＝cos(α－φ)≤5，其中cosφ＝，sinφ＝，∴(3x＋4y)max＝5.5.求函数y＝3＋4的最大值．解：函数的定义域为[5，6]，且y>0，y＝3×＋4×≤×＝5，ymax＝5.6.已知a、b、c为正数，且满足acos2θ＋bsin2θ

7、>y，求证：2x＋≥2y＋3.证明：∵x>0，y>0，x－y>0，∴2x＋－2y＝2(x－y)＋＝(x－y)＋(x－y)＋≥3＝3，∴2x＋≥2y＋3.8.已知a、b都是正实数，且a＋b＝2，求证：＋≥1.证明：(证法1)＋－1＝2最高考·高考全程总复习（一轮）数学教师用书·课时训练＝.∵a＋b＝2，∴＋－1＝.∵a、b都是正实数，∴ab≤＝1，∴＋－1≥0，即＋≥1.(证法2)由柯西不等式，得[()2＋()2]≥(a＋b)2.∵a＋b＝2，∴上式即为×4≥4，即＋≥1.(证法3)∵a、b都是正实数，∴＋≥a，＋≥b.两式相加，得＋＋＋≥a＋b.

8、∵a＋b＝2，∴＋≥1.9.已知实数a、b、c满足a>b>c，且有a＋b＋c＝1，a2＋b2＋c2＝1.求证：10，得－0，即c2－(1－c)c＋c2－c>0，得c<0，或c>(舍)，∴－

9、3在R上单调递增，∴y3＞(2－x)3，即y3＞8－12x＋6x2－x3，从而x3＋y3＞6x2－12x＋8＝6(x－1)2＋2≥2，这与已知条件x3＋y3＝2矛盾，∴假设不成立，∴原不等式成立．11.用数学归纳法证明不等式：＋＋＋…＋＞(n∈N，且n≥2)．证明：①当n＝2时，左边＝＋＋＋＝＞＝，∴当n＝2时，不等式成立；②假设当n＝k(k≥2)不等式成立，即＋＋…＋＞，∴当n＝k＋1时，左边＝＋＋…＋＋＋＋＝＋＋＋－＞＋＋－＝＋＋(－)＞，∴当n＝k＋1时不等式也成立．根据①②可知对n∈N*，且n≥2，不等式都成立．2