次型与标准形(zjy).ppt

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1、一、问题的推出第五节二次型及其矩阵表示二、基本概念三、二次型的矩阵及二次型的秩1、二次型及其表示定义1含个变元的二次齐次多项式称为n元二次型（或二次齐式）。（1）一、基本概念若（1）中交叉项的系数全部为零，即为的标准二次型（二次型的标准形）可见f为对角形。注：由（1）可见，每一项中变量的方次之和均为2。如：不是二次型是二次型二、二次型的矩阵与二次型的秩例1将下列二次型用矩阵表示。解称A为二次型的矩阵（3）简记为令推广：的矩阵，与可建立一一对应关系，的秩称为称上式中实对称矩阵为二次型的秩。二次型例2将下列二次型写成矩阵形式。解的矩阵是一

2、实对称矩阵，二次型解的矩阵是一实对称矩阵，二次型解的矩阵是一实对称矩阵，使二次型若通过线性变换经变换后化为只含平方项的标准形。即通过因为其中为二次型的标准形。一、二次型的满秩线性变换正交变换法第六节化实二次型为标准形称为可逆线性变换。（1）当是可逆矩阵时，（2）当是正交矩阵时，称为正交变换。二、正交变换法化二次型为标准形如果存在正交矩阵P，使其中为的特征值。如果在满秩线性变换中，C是正交矩阵，则称它是正交线性变换矩阵，简称正交线性变换。由于实二次型的矩阵是一个对称方阵，故对于任意一个n元实二次型一定可以找到一个正交变换使得对二次型存在

3、正交变换使其中为的特征值。其中P的列向量是A的相应于特征值的n个两两正交的单位特征向量。定理1（主轴定理）例1用正交变换化二次型为标准型，正交变换。解（1）写出二次型f的矩阵A.(2)求出A的全部特征值及其对应的标准正交的特征向量。并求出所用的而它们所对应的标准正交的特征向量为(3)写出正交变换取正交矩阵则得所欲求的正交变换即（4）写出的标准形。易知经上述正交变换后所得二次型的标准形必须指出：把实二次型化为标准形后，所得标准形虽然不是惟一的，但在标准形中的系数不等于零的平方项的个数是由A的秩所惟一确定的。并且在标准形中平方项系数为正的

4、的个数p与负的个数r-p也都是惟一确定的。它们依次被称为实二次型的正（负)惯性指数。2.解二次型的矩阵为3）对每个基础解系进行Schmidt正交化、再单位化：作正交变换X=QY，则3.解（1）写出二次型f的矩阵A.(2)求出A的全部特征值及其对应的标准正交的特征向量。当时解解之其基础解系先将正交化。单位化当得同解方程组基础解系为时解单位化(3)写出正交变换取正交矩阵则得所欲求的正交变换的标准形。易知经上述正交变换后所得二次型的标准形。（4）写出二次型的标准形显然不是唯一的，只是标准形中所含项数是确定的（即是二次型的秩R(A)),不仅如

5、此在限定变换的实变换时，标准形中的系数的个数是不变的（从而负系数的个数也不变）。这与选择的线性变换无关，可设二次型的标准形为：三、正定二次型令（1）式变成则称(2)为实二次型的规范型。其平方项系数为1，－1，0。设二次型的标准形为：(惯性定理)定理2任何实二次型总可以经过一个适当的可逆线性变换化成规范形,规范形是唯一的.其中为的秩.都有定义设为实二次型(A为实对称矩阵),如果对于任意非零向量称为正定(半正定)二次型,称正定(半正定)二次型的矩阵为正定(半正定)矩阵.2、正定二次型判别下列二次型的正定性任半正定.1.2.解1.代入,2.

6、不定.例5实二次型正定,标准形中个系数全为正.推论2推论3正定的个特征值全为正.各阶顺序主子式全大于0,即定理3正定奇数阶顺序主子式为负,负定偶数阶顺序主子式为正。为负定.判别二次型的矩阵为的正定性.解例6