微积分函数之单侧极限与无穷大.ppt

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1、§4.单侧极限与无穷大1.单侧极限概念及其定义当自变量趋于有限数时，函数极限的数量化刻画是“语言”：这时可以理解为：只考虑点x0的左邻域内，自变量从左边趋于有限数x0时，函数值f(x)有向常数A无限趋近的变化趋势。这种情况下，称函数f(x)在点x0的左极限存在，记为：只考虑点x0的右邻域内，自变量从右边趋于有限数x0时，函数值f(x)有向常数A无限趋近的变化趋势。这种情况下，称函数f(x)在点x0的右极限存在，记为：函数f(x)在点x0的左极限与右极限统称为函数f(x)在点x0处的单侧极限。原规定的函数f(x)在点x0的极限也就常被称为双侧极

2、限。利用单侧极限定义验证极限问题定理：函数f(x)在点x0点处有（双侧）极限的充分必要条件是：它在点x0处的左极限与右极限均存在并且相等。说明(1)函数极限的四则运算法则对函数的单侧极限也是成立的。单侧极限与双侧极限的相互关系显然有以下的定理：（2）“简单函数”的单侧极限已知结果仍然是：（3）求“整式函数”和“某些有理分式函数”的单侧极限时，代入法仍然成立；求“另一些有理分式函数”的单侧极限时，消去零因式法仍然成立；求“某些无理分式函数”的单侧极限时，共轭因式法也仍然成立。2.单侧极限的应用实例函数f(x)的单侧极限概念在研究分段函数的极限时有不可

3、或缺的应用。题型I：研究分段函数在分段点上的函数极限问题.题型II：已知分段函数在分段点上极限存在，求函数表示式中的待定常数问题.3.无穷大的概念及其定义现在考虑当x0时，函数y=1/x的极限。从图中可以看出，当x0时，函数y=1/x的取值没有向某个常数无限趋于的极限趋势。根据前面的函数极限概念，当x0时，函数y=1/x的极限不存在。但是，我们可以说，当x0时，函数y=1/x的取值有一个无限远离原点的趋势！为了对这种也有某种趋势的情况进行研究，我们称这种极限不存在的特殊情况为：当x0时，函数y=1/x是无穷大。“无限远离原点”的含义，从数

4、量化角度看，可以理解为：无论给定多大的正数E,函数值f(x)与原点的距离

5、f(x)

6、要比这个正数E大：

7、f(x)

8、>E。当x0时，函数y=f(x)=1/x的取值有一个无限远离原点的趋势,从数量化角度看，便可理解为：无论给定多大的正数E,总可找到自变量x非常接近原点的一个范围，当x在此范围中时，相应的函数值f(x)与原点的距离必定大于这个正数E.据此，我们可以给出以下“当x0时，函数y=1/x是无穷大”的数量化定义“x0”的含义，或者说，“x无限接近点零”，从数量化角度看，可以理解为：动点x与原点的距离

9、x-0

10、小于一个很小的正数：

11、x-0

12、

13、<.定义设函数y=f(x)在定点x0的某个去心邻域中有定义。若对于任意给定的正数E，不论它多大，都可找到一个邻域半径值>0,使得对于满足不等式0<

14、x-x0

15、<的一切x,相应的函数值f(x)均满足不等式：

16、f(x)

17、>E，则称“当自变量x趋于点x0时，函数f(x)时无穷大”，简记为：以上函数极限时无穷大的数量化说法，也可简明地表示为：注意：(1)“无穷大”不是一个很大的数，它只表示具有“无限远离原点”趋势的一种函数。(2)函数是“无穷大”不是函数极限存在的一种情况，故极限的四则运算法则不能直接运用于“无穷大”。(3)“无穷大”±“无穷大”“

18、无穷大”。反例：(4)“无穷大”必须在说明自变量的具体极限过程下，才有意义。4.用定义验证函数是无穷大的应用实例