微积分-_3函数的极限.ppt

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1、第一章一、函数极限的定义第三节自变量变化过程的六种形式:二、函数极限的性质本节内容:机动目录上页下页返回结束函数的极限一、函数极限的定义1.自变量趋于有限值时函数的极限机动目录上页下页返回结束引例.从函数的图像可以看出，尽管在处没有定义，但是当无限接近于1时，无限接近于2。刘徽目录上页下页返回结束函数极限的直观描述：当无限接近一个数A可以任意小，要多小就有多小能小于事先给定的任意小的正数无限接近于时，当无限接近于时，当与接近到一定程度时，当时,有定义1.设函数在点的某去心邻域内有定义,当时,有则称常数

2、A为函数当时的极限,或即当时,有若记作几何解释:极限存在函数局部有界(P22性质2)这表明:机动目录上页下页返回结束例1.证明证:故对任意的当时,因此总有机动目录上页下页返回结束例2.证明证:欲使取则当时,必有因此只要机动目录上页下页返回结束例3.证明证:故取当时,必有因此机动目录上页下页返回结束例4.证明:当证:欲使且而可用因此只要时故取则当时,保证.必有机动目录上页下页返回结束左极限与右极限左极限:当时,有右极限:当时,有结论：机动目录上页下页返回结束例5.设函数讨论时的极限是否存在.解:利用定理

3、3.因为显然所以不存在.机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束2.自变量趋于无穷大时函数的极限引例.1从函数的图像可以看出：当的绝对值无限增大时，无限接近于1。我们称1为当时函数的极限。机动目录上页下页返回结束定义2.设函数大于某一正数时有定义,若则称常数时的极限,几何解释:记作A为函数直线y=A为曲线的水平渐近线例6.证明证:取因此就有故欲使即机动目录上页下页返回结束注:直线y=A仍是曲线y=f(x)的渐近线.单侧极限:当时,有当时,有几何意义:例如，都有水平渐近线都有水平渐近线又如，机动

4、目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束三、函数极限的性质（P22)定理1（极限的唯一性）若存在，则唯一。定理2（极限的局部有界性）若存在，则及，使得当时，都有定理3（局部保号性）若且A>0,则存在(A<0)定理3.若且A>0,证:已知即当时,有当A>0时,取正数则在对应的邻域上(<0)则存在(A<0)机动目录上页下页返回结束若取则在对应的邻域上若则存在使当时,有定理3’分析:机动目录上页下页返回结束推论.若在的某去心邻域内,且则证:用反证法.则由定理1,的某去心邻域,使在该邻域内与已知所以假设不

5、真,(同样可证的情形)思考:若定理2中的条件改为是否必有不能!存在如假设A<0,条件矛盾,故机动目录上页下页返回结束内容小结1.函数极限的或定义及应用2.函数极限的性质:唯一性，局部有界性与保号性思考与练习1.若极限存在,2.设函数且存在,则例3作业P3321(3);P3529(1)是否一定有第四节目录上页下页返回结束？