微积分课件1-3函数的极限

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1、第三节函数的极限一、函数极限的定义二、函数极限的性质三、小结与思考判断题一、函数极限的定义本节仿照数列极限讨论给出函数极限，先给出函数极限的一般概念：在自变量的某个变化过程中，如果对应的函数值无限接近某个确定常数，那么这一确定常数就叫作在这一过程中函数的极限.函数的极限与自变量的变化过程有关.自变量的变化过程不同，函数极限的形式就不同.主要研究两种情形：1.自变量趋于有限值时函数的极限考虑自变量趋近于有限值，记这一变化过程为仿照数列极限的定义，给出时函数的极限的定义.定义1设函数在点的某一去心邻域内有定义.如果对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正数，使得对

2、于适合不等式的一切，对应的函数值都满足不等式，那么常数就叫函数当时的极限，记作或当3.(几何解释)注:例1证明证因为为使对于任意给定的正数，有只要,所以对任意，可取，则当适合不等式时，对应的函数值就满足不等式所以证例4讨论单侧极限2函数值无限接近于2.函数值无限接近于2.左极限右极限左右极限存在但不相等,例6证结论：2.自变量趋于无穷大时函数的极限自变量表示及，对正数，表示及.定义4如果对于任意给定的正数（不论它多么小）总存在着正数，使得对于适合不等式的一切，所对应的函数值都满足不等式那么常数就叫函数当时的极限，记作另两种情形:结论：几何解释:例4证例5证明也即二

3、、函数极限的性质1.局部有界性定理若在某个过程下,)(xf有极限,则存在过程的一个时刻,在此时刻以后)(xf有界.定理,2.唯一性若)(limxf存在则极限唯一.定理(保号性)推论3.局部保号性4.子列收敛性(函数极限与数列极限的关系)定义定理证设，则对任意的，总存在，当时，有又因为，则对上述的，存在，当时，有.由假设，.故当时，.从而有即也即函数的子列收敛.例如,函数极限与数列极限的关系函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在,且相等.例6证二者不相等,三、小结函数极限的统一定义(见下表)过程时刻从此时刻以后过程时刻从此时刻以后思考题思考题解答左极限存在

4、,右极限存在,不存在.