《侧极限与无穷大》PPT课件

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1、§4.单侧极限与无穷大1.单侧极限概念及其定义当自变量趋于有限数时，函数极限limf(x)A的数量化刻画是xx0“语言”：0,0,s.t.0xxf(x)A00xxxxx或xxx00000语言可以表为：0,0,无论xxx00或者xxx都可成立f(x)A00如果0,0,当xxx00便可成立f(x)A,这时有什么具体含义？这时可以理解为：只考虑点x0的左邻域内，自变量从左边趋于有限数x0

2、时，函数值f(x)有向常数A无限趋近的变化趋势。这种情况下，称函数f(x)在点x0的limf(x)A左极限存在，记为：xx00类似地，如果0,0,当xxx00便可成立:f(x)A,这时的具体含义是：只考虑点x0的右邻域内，自变量从右边趋于有限数x0时，函数值f(x)有向常数A无限趋近的变化趋势。这种情况下，称函数f(x)在点x0的右极限存在，记为：limf(x)Axx00函数f(x)在点x0的左极限与右极限统称为函数f(x)在点x0处的单侧极限。原规定的函数f(x)在点x0的

3、极限也就常被称为双侧极限。利用单侧极限定义验证极限问题1用定义验证：lim2x0x010证：任意取定正数10，取1log()211则当x0时，有：f(x)A2x02x111x2.1根据函数极限定义，lim2x0.x0单侧极限与双侧极限的相互关系显然有以下的定理：定理：函数f(x)在点x0点处有（双侧）极限的充分必要条件是：它在点x0处的左极限与右极限均存在并且相等。说明(1)函数极限的四则运算法则对函数的单侧极限也是成立的。即若以下极限limf(x)A,

4、limg(x)B,xx00xx00（lim可换成lim），则xx00xx00(I)lim[f(x)g(x)]亦存在，且有：lim[f(x)g(x)]AB;xx00xx00(II)lim[f(x)g(x)]亦存在，且有：lim[f(x)g(x)]AB;xx00xx00(III)lim[f(x)g(x)]亦存在，且有：lim[f(x)g(x)]AB;xx00xx00f(x)(IV)如果还有B0,则lim亦存在，xx00g(x)f(x)A且有：li

5、m.xx00g(x)B（2）“简单函数”的单侧极限已知结果仍然是：limCC(C为常数）;limxx.0xx00xx00（3）求“整式函数”和“某些有理分式函数”的单侧极限时代入法仍然成立；求“另一些有理分式函数”的单侧极限时，消去零因式法仍然成立；求“某些无理分式函数”的单侧极限时，共轭因式法也仍然成立。2.单侧极限的应用实例函数f(x)的单侧极限概念在研究分段函数的极限时有不可或缺的应用。题型I：研究分段函数在分段点上的函数极限问题.2xx2,x1例1.已知yf(x)2，试问：

6、x2x3,x12x1limf(x)是否存在？如果存在，求出其值。x12解：limf(x)lim(xx2)x10x10代入法1122,2(x1)(x3)x2x3limf(x)limlimx10x10x21x10(x1)(x1)x3代入法4lim2,limf(x)limf(x)2x10x1x10x102limf(x)存在，且limf(x)2.x1x13xx2,x1例2.已知yf(x)3，x2x

7、3,x13x1(1)试问：limf(x)是否存在？如果存在，求出其值.x13(2)求：limf(x).解：(1)limf(x)lim(xx2)x2x10x10代入法31122,32x2x3(x1)(xx3)limf(x)limlim32x10x10x1x10(x1)(xx1)2xx3代入法5lim,x10x2x13limf(x)52limf(x)limf(x)不存在.x103x10x

8、13x32x3代入法(2)2(2)39(2)limf(x)lim3.3x2x2x1(2)17[x]求极限lim(a0为某个正常数)。xax解：若a满足k1ak，其中k为某个正整数，[x]k1k1[a]则limlim;xaxxaxaa若ak，其中k为某个正整数，[x]k1k1a1limlim1;xa