概率论复习题及答案.pdf

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1、考研数学知识点-概率统计一.随机事件和概率（4）全概公式B1,B2,Λ,Bn1、概率的定义和性质设事件满足B1,B2,Λ,Bn1°两两互不相容，（1）概率的公理化定义P(Bi)>0(i=1,2,Λ,n)，设Ω为样本空间，A为事件，对每一个事件A都有一n个实数P(A)，若满足下列三个条件：A⊂ΥBi1°0≤P(A)≤1，2°i=1，2°P(Ω)=1则有3°对于两两互不相容的事件A1，A2，…有P(A)=P(B1)P(A

2、B1)+P(B2)P(A

3、B2)+Λ+P(Bn)P(A

4、Bn)∞∞⎛⎞。P⎜⎜ΥAi⎟⎟=∑P(Ai)此公式即为全概率公式。⎝i=1⎠i=

5、1常称为可列（完全）可加性。（5）贝叶斯公式则称P(A)为事件A的概率。设事件B1，B2，…，Bn及A满足1°B1，B2，…，Bn两两互不相容，P(Bi)>0，i=1，（2）古典概型（等可能概型）2，…，n，1°Ω={}ω,ωΛω，n12nA⊂ΥBi2°P(ω)=P(ω)=ΛP(ω)=1。2°i=1，P(A)>0，12nn则设任一事件A，它是由ω,ωΛω组成的，则有12mP(B)P(A/B)iiP(B/A)=，i=1，2，…n。P(A)={}(ω)Υ(ω)ΥΛΥ(ω)in12m∑P(Bj)P(A/Bj)=P(ω)+ΛP(ω)++P(ω)12mj=1此公式

6、即为贝叶斯公式。mA所包含的基本事件数==P(B)，（i=1，2，…，n），通常叫先验概率。P(B/A)，iin基本事件总数（i=1，2，…，n），通常称为后验概率。如果我们把A当作观察的“结果”，而B1，B2，…，Bn理解为“原2、五大公式（加法、减法、乘法、全概、因”，则贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出贝叶斯）了“由果朔因”的推断。（1）加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)3、事件的独立性和伯努利试验当P(AB)＝0时，P(A+B)=P(A)+P(B)（1）两个事件的独立性P(AB)=P(A)P(B)设事件A、B满足，则称事

7、件（2）减法公式A、B是相互独立的（这个性质不是想当然成立的）。P(A-B)=P(A)-P(AB)P(A)>0若事件A、B相互独立，且，则有当B⊂A时，P(A-B)=P(A)-P(B)P(AB)P(A)P(B)P(B

8、A)===P(B)当A=Ω时，P(B)=1-P(B)P(A)P(A)所以这与我们所理解的独立性是一致的。（3）条件概率和乘法公式若事件A、B相互独立，则可得到A与B、A与B、P(AB)A与B也都相互独立。（证明）定义设A、B是两个事件，且P(A)>0，则称为事件P(A)由定义，我们可知必然事件Ω和不可能事件Ø与任A发生条件下，事件B发生的条

9、件概率，记为何事件都相互独立。（证明）P(AB)同时，Ø与任何事件都互斥。P(B/A)=。P(A)（2）多个事件的独立性条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，1Editedby杨凯钧2005年10月考研数学知识点-概率统计P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)称为随机变量X的分布函数。并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)P(a

10、也就是说，分布函数完整地描述了随机两两互斥→互相互斥。两两独立→互相独立？变量X随机取值的统计规律性。分布函数F(x)是一个普通的函数，它表示随机变量（3）伯努利试验定义我们作了n次试验，且满足落入区间（–∞，x]内的概率。每次试验只有两种可能结果，A发生或A不发生；F(x)的图形是阶梯图形，x,x,Λ是第一类间断12n次试验是重复进行的，即A发生的概率每次均一样；点，随机变量X在x处的概率就是F(x)在x处的跃每次试验是独立的，即每次试验A发生与否与其他kk次试验A发生与否是互不影响的。度。这种试验称为伯努利概型，或称为n重伯努利试验。分布函数具有如下

11、性质：用p表示每次试验A发生的概率，则A发生的概率为1°0≤F(x)≤1,−∞

12、k=1,2,…，5°P(X=x)=F(x)−F(x−0)。则称上式为离散型随机变