概率论复习题及答案

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1、概率论与数理统计复习题一．事件及其概率1.设为三个事件，试写出下列事件的表达式：(1)都不发生；(2)不都发生；(3)至少有一个发生；(4)至多有一个发生。解：(1)(2)(3)(4)2.设为两相互独立的随机事件,,,求。解：；。3.设互斥，，，求。解：。4.设，求。解：。5.设独立且求。解：。6.袋中有个黄球，个白球，在袋中任取两球，求(1)取到两个黄球的概率；(2)取到一个黄球、一个白球的概率。解：(1)；(2)。7.从十个数字中任意选出三个不同的数字，求三个数字中最大数为的概率。解：。111.从中任取两数，求两数之和小于的概率

2、。解：。2.甲袋中装有只红球，只白球，乙袋中装有只红球，只白球，现从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，问从乙袋中取出红球的概率为多少？解：设“从甲袋中取出的是红球”，“从乙袋中取出的是红球”，则：由全概率公式得：。3.某大卖场供应的微波炉中，甲、乙、丙三厂产品各占50%、40%、10%，而三厂产品的合格率分别为95%、85%、80%，求(1)买到的一台微波炉是合格品的概率；(2)已知买到的微波炉是合格品，则它是甲厂生产的概率为多大？解：(1)设分别表示买到的微波炉由甲、乙、丙厂生产，表示买到合格品，则由全概率公式得；(2

3、)。二．一维随机变量及其数字特征1.已知的概率密度函数，求。解：，。2.设，求。解：。3.设三次独立随机试验中事件出现的概率相同，已知事件至少出现一次的概率为，求在一次试验中出现的概率。解：三次试验中出现的次数，由题意：11。1.某种灯管的寿命（单位：小时）的概率密度函数为，(1)求；(2)任取只灯管，求其中至少有只寿命大于的概率。解：(1)；(2)设只灯管中寿命大于的个数为，则，故。2.设求。解：。3.设，求。解：，。4.设，求。解：，。5.设服从上的均匀分布，求方程解：，。6.设，求。解：。111.设某机器生产的螺丝长度。规定长

4、度在范围内为合格，求螺丝不合格的概率。解：螺丝合格的概率为故螺丝不合格的概率为。2.设，，求、及的分布。解：。3.设与独立，且求。解：。4.设求。解：。5.设，求的概率密度函数。解：(1)当时，；(2)当时，；(3)当时，；(4)当时，；故，。二．二维随机变量及其数字特征1.已知的联合分布律为：11(1)求；(2)求；(3)求的边缘分布律；(4)求；(5)判断是否独立。解：(1);(2)；(3)；(4)；(5)，不独立。2.已知的联合分布律为：且与相互独立，求：(1)的值；(2)；(3)的边缘分布律；(4)；(5)的分布律。解：(1

5、);11(2)；(3)；(4)；(5)。4.已知的概率密度函数为，求：(1)常数；(2)关于变量的边缘概率密度函数；(3)。解：(1)；(2)；(3)。5.设的概率密度函数为：，(1)求；(2)求；(3)判断是否独立；(4)求；(5)求。解：(1)；(2)，11；(1)不独立；(2)，；(3)。二．中心极限定理1.某种电器元件的寿命服从指数分布（单位：小时），现随机抽取只，求其寿命之和大于小时的概率。解：设第只电器元件的寿命为则。令，则。由中心极限定理得。2.生产灯泡的合格率为，记个灯泡中合格灯泡数为，求(1)与；(2)合格灯泡数在

6、之间的概率。解：(1)；(2)由中心极限定理得。3.有一批建筑房屋用的木柱，其中的长度不小于，现从这批木柱中随机地取根，问至少有根短于的概率是多少？解：设这根木柱中短于的个数为，则；由中心极限定理得。4.某单位设置一电话总机，共有架电话分机。设每个电话分机是否使用外线通话相互独立，设每时刻每个分机有的概率要使用外线通话。问总机至少需要多少外线才能以不低于11的概率保证每个分机要使用外线时可供使用?解：设至少需要条外线。使用外线的分机数，。由中心极限定理得：。一．抽样分布1.从一批零件中抽取个样本，测得其直径为，求。解：。2.设是来自

7、正态总体的简单随机样本，已知服从分布，求。解：。3.总体，(1)对容量的样本，求样本均值大于的概率；(2)为使大于的概率不小于，样本容量至少应为多少？解：(1)；(2)。4.设取自正态总体，求。解：由于，故。111.设来自总体，为样本方差，求。解：。二．参数估计1.设随机变量，其中已知。为样本均值,求的矩估计量。解：。2.设总体的概率密度函数为：，其中是未知参数，求的矩估计量。解：。3.设总体的分布律为现有样本：，求的矩估计值与最大似然估计值。解：(1)，将代入得；(2)似然函数对数似然函数，令，得。4.设总体的概率密度函数为。现测

8、得的个数据：，求的矩估计值和最大似然估计值。解：(1)，令，得；11(2)似然函数，对数似然函数，令，得。1.设轴承内环的锻压零件的平均高度服从正态分布。现在从中抽取只内环，其平均高度毫米，求内环平均高度的置信度为的置信区间。解：已知