2013年卓越自主招生数学试题.pdf

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1、2013年卓越自主招生数学真题试卷（部分）从实际考查的内容上看，卓越联盟数学试卷难度和风格与前两年一致；从考查的内容上看，“卓越”联盟一贯讲究对高中数学知识的全面覆盖，但不超出高中课本，偶尔结合一些高级观点，对竞赛的解题思想和技巧基本不要求。“函数”，“三角”，“数列”“不等式”“立体几何”“解析几何”“平面几何”“向量”“复数”“概率统计”“导数与积分”都是重点考查内容。试卷一直采用“小题+大题”的形式。2011年是，“10个选择+5个大题”；2012年是“6个填空+6个大题”；2013年则是“4选择+4填

2、空+4大题”。虽然在具体的题目设置上每年都变化，但也仅仅是问法不同。最后一题，网上出现了两个版本。版本1：版本2：“卓越”的试卷非常符合考试院的作风，比较贴近大约十年前的全国卷。此题即有明面显的改造痕迹，与2002年全国理科试卷最后一道试题相似：2（2002年全国卷理科22）设数列{an}满足：an+1=an−nan+1，n=1,2,3,⋯（I）当a=2时，求a,a,a并由此猜测a的一个通项公式；1234n（II）当a≥3时，证明对所的n≥1，有1（i）an≥n+211111（ii）+++⋯+≤1+a1+a1

3、+a1+a2123n2解（I）由a1=2，得a2=a1−a1+1=32由a2=3，得a3=a2−2a2+1=42由a3=4，得a4=a3−3a3+1=5由此猜想an的一个通项公式：an=n+1（n≥1）（II）（i）用数学归纳法证明：①当n=1时，a1≥3=1+2，不等式成立．②假设当n=k时不等式成立，即ak≥k+2，那么a=a(a−k)+1≥(k+2)(k+2−k)+1=2k+5≥k+3k+1kk．也就是说，当n=k+1时，ak+1≥(k+1)+2据①和②，对于所有n≥1，有an≥+n2．（ii）由an+

4、1=an(an−n)+1及（i），对k≥2，有a=a(a−k+1)+1kk−1k−1≥a(k−1+2−k+1)+1=2a+1k−1k−1……k−1k−2k−1a≥2a+2+⋯+2+1=2(a+1)−1k11111于是≤⋅k−1，k≥21+a1+a2k1nnn111111221∑≤+∑k−1=∑k−1≤≤=k=11+ak1+a11+a1k=221+a1k=121+a11+324更好的辅导，更美好的人生！400-018-7099