2012 年高考数学试题导数应用特点简析.pdf

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1、2012年高考数学试题导数应用特点简析海南华侨中学吕小平内容摘要本文对2012年高考数学导数应用试题的特点进行了简析，简单扼要介绍了x姊妹不等式e≥x+1与ln（x+1）≤x的应用时应注意的条件，如果不等式应用的恰当解题非常简捷，能起到事半功倍的作用。否则就会产生错误，所以姊妹不等式其实是一把双刃剑。同时介绍了今年导数应用试题的解题方法与策略。关键词高考试题导数应用特点简析x2012年新课标高考数学试题的导数应用试题，仍然围绕两个姊妹不等式e≥x+1与ln（x+1）≤x和应用导数研究函数的单调性问题上展开，但已经不是

2、简单地从形式上模仿和间断点的简单应用来理解，而是从理解这两个不等式取等号的条件和适时选择使用“用”与“不用”这两个姊妹不等式的条件判断，如果这个问题处理的好，解题会起到事半功倍的作用，否则就会被误导到错误的思维上去，得不到正确的结论。基于此，本文从两个姊妹不等式的等号成立的条件，具体试题中怎样应用作一些阐明，并借用2012年全国其他高考数学试题兼谈应用导数研究函数性质试题一般解题策略与方法。一、两个姊妹不等式取等号的条件与简单变式举偶x 姊妹不等式e³x+1与ln(x+1)£x实际上是等价变式关系。因此，研究不等x 

3、式e³x+1取等号的条件即可得到不等式ln(x+1)£x取等号的条件，超越不等式xx e≥x+1可以借用两个函数y=e，y=x+1图像在同一直角坐标系内进行研究，x 不等式e³x+1取等号的条件恰好是两曲线相切时切点的坐标，即当且仅当x=0时，等号成立，正像基本不等式a+b³2ab在使用时需要注意“正、定、x 等”的条件一样，使用姊妹不等式e³x+1与ln(x+1)£x也要注意使用条件是当且仅当x=0时，等号成立。例如2010年新课标理科第21题的第（Ⅱ）问，若x 2 当x≥0时，f(x)=e-1-x-ax³0，求a

4、的取值范围。x 解析：f¢(x)=e-1-2ax³(x+1)-1-2ax=(1-2a)x（适时而用，x=0也是函数的间断点）1 （i）当1-2a³0，即a£时，f¢(x)³0，（实际上是在探求f(x)³0的2第1 页共8 页时间：2012年6月13日完成1 所以，f(x )在[0，+∞）上是增函数，（充分条件，即条件P：a£2因此，当x³0时，f(x)³f(0)=0。（条件Q："x³0，f(x)³0）1 x （ii）当a>时，f¢(x)=e-1-2ax=g(x)，且g(0)=0（此时不能用2x x g¢(x)=e-2

5、a=0，得x=ln(2a)>0，（不等式e³x+1，因为需要所以，当xÎ(0,ln(2a))时，g¢(x)<0，（得到相反的结论，否则就则g(x )在(0,ln(2a ))上是减函数，（会把思维引向错误方向！）1 因此，当xÎ(0,ln(2a ))时，g(x)，2即当xÎ(0,ln(2a ))时，f¢(x)<0，（ØQ：$x³0，f(x)<0，则f(x )在(0,ln(2a ))上是减函数，（即QÞPÛØPÞØQ，因此，存在xÎ(0,ln(2a ))时，f(x)

6、明1 所以a£也是“"x³0，f(x)³0”的必要条件。（必要性！）21 所以a的取值范围是(-¥,]。21 再如：不等式1-£lnx£x -1实际都是由不等式ln(x+1)£x变式而得到的，x等号成立的条件是x=1，因为不等式的右不等号为lnx=ln[(x-1)+1]£x-1，不11 1 1 等式的左不等号为ln()£-1，所以-lnx £-1，即1-£lnx ，并且取等号条xxxx1 件恰好是y =1-与y=lnx相切的切点坐标。利用两个姊妹不等式进行变式解题x时一定要注意着相应的取等号条件思考，只有这样才能学有

7、所用，用有所得，快捷得出正确的结论，否则，不思考使用条件，盲目使用就会产生错误。二、2012年新课标高考试题两个姊妹不等式应用举偶1 先看理科第10题：已知函数f(x )=；则y=f(x)的图像大致为ln(x+1)-x第2 页共8 页时间：2012年6月13日完成本题只要想到不等式ln(1+x)£x及取等号条件，就相当好解，当x³-1，且1 x¹0时，ln(x+1)

8、过程，第（Ⅱ）是：k是整数，且当x>0x 时，(x-k)(e-1)+x+1>0，求k的最大值。x 笔者应用不等式e³x+1的解析如下：xx x 不等式可变为k(e-1)0，所以e-1>0，x +1 x +1x 即kx，这样就把超越不等式x e-1xx +1 1 也就是k<(