概率论习题42解答修改后.pdf

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1、§4.2协方差及相关系数习题解答P1181．(X,Y)的分布律如下，试求X与Y的相关系数.Y12X101/321/31/311151115解：E(X)10()2(),E(Y)10()2(),33333333221211221211E(X)10()2()3,E(Y)10()2()3,3333332252222522D(X)E(X)[E(X)]3(),D(Y)E(Y)[E(Y)]3()39391118E(XY)1101212223333855cov(X,Y)E(XY

2、)E(X)E(Y)3331(XY)(X)(Y)(X)(Y)2229922.设X的分布律如下，试证明X与YX不相关又不相互独立.X-101P1/31/31/311122121212解：E(X)1010，E(Y)E(X)()10133333332222D(X)E(X)[E(X)]0,33244141412E(Y)E(X)()101,3333222222D(Y)E(Y)[E(Y)](),3393313131E(XY)E(X)()1010,333200co

3、v(X,Y)E(XY)E(X)E(Y)3(XY)0(X)(Y)(X)(Y)2239§4.2协方差及相关系数习题解答P1182所以X与YX不相关，有因为Y是X的函数，显然不独立，例如110P{X,1Y}0P{X}1P{Y}0.333.设B0，验证YABX时，X与Y的相关系数为1或-1.cov(X,Y)E(XY)E(X)E(Y)证明：(XY)D(X)D(Y)D(X)D(Y)22E[X(ABX)]E(X)E(ABX)AE(X)BE(X)AE(X)B[E(X)]D(X)D(ABX)D(X)BD(X)

4、221B0B[E(X)[E(X)]]B.BD(X)B1B04.设(X,Y)~U(D),D是由0x0,1yx所围成的区域，试求X与Y的相关系数.2xD解：p(x,y)，0其它1x221x21141E(X)dx2xdy,E(X)dx2xdy,D(X),00300229181x121x21111E(Y)dx2ydy,E(Y)dx2ydy,D(Y),00300669181x11211E(XY)dx2xydy,cov(X,Y),00443336cov(X,Y)1(X,Y).

5、D(X)D(Y)25．设(X,Y)~U(D),D是由x轴，y轴及直线xy1所围成的区域，试求(X,Y).2xD解:p(x,y)0其它11x1211x21111E(X)0dx02xdy,E(X)0dx02xdy,D(X)，36691811x1211x21111E(Y)dx2ydy,E(Y)dx2ydy,D(Y)，003006691811x11111E(XY)dx2xydy,cov(X,Y)00121233361cov(X,Y)361(X,Y).D(X)D(Y)11218

6、18§4.2协方差及相关系数习题解答P1186.设X,X,X两两不相关，各有均值0及方差1，试求(XX,XX).1231223解：E(XX)E(X)E(X)00012122E[(XX)(XX)]E(XX)E(X)E(XX)E(XX)122312213232两两不相关E(X)D(X)[E(X)]1222222D(XX)E(XX)E(X)2E(XX)E(X)1012;12121122同理得D(XX)2，则23cov(X1X2,X2X3)101(XX,XX).1223D(XX)D(XX)22

7、212237.已知某箱装有10件产品，其中一等品8件，二等品1件，三等品1件，如果从中任取一1抽到i等品件，记Xii.3,2,1试求随机变量X1与X2的相关系数.0否则解：由题意知，X,X的分布律分别为：12X10X10128219PP101010102288816E(X1)E(X1),D(X1),101010100221119E(X2)E(X2),D(X2),E(X1X2)0,101010100又(X,X)的分布律为：12X210X1810101101010§4.2协方差及相关系数习题解答P1188182