2011年合工大《矩阵理论》考试范围与重要习题.pdf

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1、2011年合工大《矩阵理论》考试范围与重要习题1、两个子空间的直和例：设V和V分别是齐次方程组xx...x0和xx...x的解空间，证1212n12n明错误！未找到引用源。VVV。12证明：因方程组xx...x0和xx...x，只有零解，故VV0，12n12n12从而VV=VV，且VV是错误！未找到引用源。的子空间，即VV≤错误！12121212未找到引用源。。又V的维数是n-1，V的维数是112故VV的维数是n维，所以VVV。1212注：任给一个V的子空间V，可以找到子空间V使得：VVV1212此式称为V的一个直

2、和分解，V，V称为互补空间122、线性空间中线性变换的象空间与核例题1:证明：线性空间V的线性变换T的象空间和核都是V的子空间证明：因为V非空，所以TV()非空xyV,,Px,yV,xVTxTyTx(y)TV()TxT(x)TV()故是TV()是V的线性子空间因为所以非空因为0ker()TT所以ker()非空xy,ker(),TP则TxTy0,0于是Tx(y)TxTy0,故xyker()TT(x)Tx故,xker()T因此ker()T是的V线性子空间。例题2:线性空间V中的线性变化T的象空间和核的维数

3、之和等于V的维数dim(T(V))+dim(ker(T))=dim(V)证明：设dim(V)=ndim(ker(T))=s只需证明dim(T(V))=n-s即可取ker(T)的一组基xx1,2,...,xs再添加n-s个向量将这组向量扩充为V的一组基xx1,2,...,xys,s1,ys2,...,ys2,对xVx11xx22...ssxsys1...1ynn则Tx1Tx1Tx22...sTxssTy1s...1Tynnss1Ty1...nTynTV()SpanTy{s1,Tys1,..

4、.,Tys1}现在只需证明Tys12,Tys,...,Tyn线性无关。设kTys1s1ks2Tys2...kTynn0则：Tk(s1ys1ks2ys2...kynn)=0故kTys1s1ks2Tys2...kTynnker()T于是ks1ys1ks2ys2...kynn可由xx12,,...,xs线性表示即ks1ys1ks2ys2...kynnlx11lx22...lxss故有lx11lx22...lxssks1ys1ks2ys2...kynn0因xx1,,..

5、.,2xysn,s1,...,y是V的一组基，所以l1l2...ks1...kn0因此Tys12,Tys,...,Tyn线性无关3、过渡矩阵线性变换在给定基下的矩阵3TTT例题：已知中的线性变换T在基-1,1,1,1,0,-1,0,1,1123101下的矩阵是110121TTT求T在基e(1,0,0),e(0,1,0),e(0,0,1)下的矩阵。123解：设基,,到eee,,的过度矩阵为Q123123则eee,,,,Q123123100110即：010101

6、Q0011111110111所以Q101011111101所以T在基eee,,下的矩阵B为1231011BQ110Q1211101011111011100111111211011122203024、定理:内积空间中必存在标准正交基（施密特正交化）5例：设eeeee,,,,是中的一组标准正交基VSpan,,12345123其中ee,eee,

7、2eee11521243123求V的一组标准正交基解：设kkk0，即有112233k1k220ke31k2ke32ke33ke24ke15因为eeeee,,,,线性无关，故kkk012345123因此,,线性无关，所以,,是V的一组基。123123现将其化为标准正交基，首先将其正交化2,13,13,2取ee,,111522133121,11,12,2e1e2ee4,1e52