CAP微积分(上)练习题参考答案.pdf

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1、CAP微积分（上）练习题（全卷共15题，共100分，考试时间120分钟）一、选择题：1～6小题，每小题4分，共24分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．2x(e−1)sin(x−1)（1）已知函数fx()=，则fx()的可去间断点是xx(−1)（A）x=0和x=1均是fx()的可去间断点．（B）x=0和x=1均是fx()的跳跃间断点．（C）x=0和x=1分别是fx()的可去间断点和跳跃间断点．（D）x=0和x=1分别是fx()的跳跃间断点和可去间断点．答案：Af(2)x−f(−x)（2）设函数fx()在x=0处可导，且lim=1，则f′(0)=x→0x（A）1．（B）3．

2、11（C）．（D）．23答案：Dlnx,x>0,x≠1,2（3）设函数fx()=x−1在x=1处连续，则a=a,x=1（A）0．（B）1．1（C）2．（D）．2y答案：Dy=f'(x)（4）右图是可导函数fx()的导函数y=fx′()的图象，Ox从图上可以看出，函数fx()的极值点与拐点的个数依次为（A）3，3．（B）3，4．（C）4，3．（D）4，4．答案：B32x+8（5）曲线y=在x=0对应的点处的切线方程是42x+1xx（A）y=−2．（B）y=+x．44（C）y=−2x．（D）y=+2x．答案：C（6）设函数fx()满足f′′()x<0，且f(0)=f′(0)1=，则(A)

3、f(2)=3．(B)f(2)>3．(C)f(2)<3．(D)f(2)与3的大小关系无法确定．答案：C二、填空题：7～10小题，每小题4分，共16分．2nn+1（7）lim=．n→∞n−14答案：e2（8）微分方程y′=ysecx满足条件y(0)1=的解是y=．tanx答案：e2（9）函数y=x1+x在x=0，dx=2时的微分值dy=．答案：222（10）设fx()=+xx+ox()(x→0)，则f′′(0)=．答案：2三、解答题：11～15小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（11）（本题满分12分）21sin+x+sinx−(a+bsin)x设函数fx()=，

4、且x=0是fx()的可去间断点，求ab,2x的值．2/5解：因为x=0是fx()的可去间断点，所以lim()fx存在，从而x→0lim1sin+x+sin2x−(a+bsin)x=lim()fx⋅x2=0，x→0x→0即1−a=0．故a=1．……6分又因为′cosx+2sincosxx−1sin+x+sin2x−(1+bsin)xbcosx221sin+x+sinxlim=lim，2x→0(x)′x→02xcosx+2sincosxx1所以当lim(−bcos)x=−≠b0时，x→021sin+x+sin2x21sin+x+sin2x−(1+bsin)x′lim=∞．2

5、x→0(x)′11这与“lim()fx存在”矛盾，所以−=b0．故b=．……12分x→022（12）（本题满分12分）1322设函数y=yx()由方程y+xy+xy=9确定，求y′(0)和y′′(0)的值．31322解：在y+xy+xy=9两端关于x求导，得3222yy′+y+2xyy′+2xy+xy′=0．（*）在（*）式两端关于x求导，得2222yy′′+2()yy′+4yy′+2[()xy′+yy′′]2+y+4xy′+xy′′=0．（**）……6分1322将x=0代入y+xy+xy=9，解得y(0)=3．3将x=0，y(0)=3代入（*）式得9(0)9y′+=0，即y′(0)=−1．将

6、x=0，y(0)=3及y′(0)=−1代入（**）式得9(0)6126y′′+−+=0，即y′′(0)=0．……12分3/5（13）（本题满分12分）3x已知函数fx()=，求函数fx()的：2(1+x)（I）单调递减区间及极值；（II）下凸区间及拐点；（III）图象的渐近线．解：函数fx()的定义域为(−∞−,1)∪(1,−+∞)．2xx(+3)6xfx′()=，f′′()x=，34(1+x)(1+x)由fx′()=0得x=0，x=−3．由f′′()x=0得x=0．（I）fx′()的符号变化如下：x(−∞−,3)(3,1)−−(1,0)−(0,+∞)fx′()+−++27所以fx()的单调递

7、减区间为(3,1)−−；极大值为f(3)−=−．4（II）f′′()x的符号变化如下：x(−∞−,1)(1,0)−(0,+∞)f′′()x−−+所以fx()的下凸区间为(0,+∞)；拐点为x=0．……8分3x（III）因为lim()fx=lim=−∞，所以x=−1是曲线y=fx()的一条铅直渐近线．2x→−1x→−1(1+x)3fx()x又由于lim=lim=1，且2x→∞xx→∞x(1+x)32