超静定问题典型习题解析.pdf

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1、超静定问题分析典型习题解析1试判断下列结构中为几度静不定，给出基本结构并列出相应的变形协调条件。　ABC(a)(b)题1图(a)解Ⅰ：梁有四个约束反力，有三个有效的平衡方程，但尚有一个条件，即在中间铰B处的内力弯矩为零，故为静定梁。解Ⅱ：去掉任何一个约束，该梁成为几何可变机构，所以是1-1＝0度静不定，即静定结构。(b)解：图示框架有三个约束反力，又有三个平衡方程式，故支反力是静定的。但框架某一截面，有三个内力分量，即轴力、剪力和弯矩，是不能用静力方程直接确定的。所以是内力三度静不定问题。将框架从任一截面截开，即构成基本

2、结构。变形协调条件为截开处左右边的轴向相对位移、横向相对位移和相对转角为零。(c)解：图示框架有四个约束反力，只有三个有效的平衡方程，为一度外力静不定。每个封闭圈三个未知内力，两个封闭圈共有六个未知内力，为六度内力静不定。故为七度静不定问题。基本系统为c-2。变形协调条件共七个，分别为：在B点，水平位移∆=0，在C、D截面，左右相对转角为零、左右轴向相对位移为零以及左右B横向相对位移为零。CDABAB(c-1)(c-2)题1图(c)1(d)解：图示结构为一封闭的圆圈，在任意截面截开后，有三个未知内力分量，故为三F度静不定

3、。沿对称轴将圆环截开，由于对称性，轴力等于，剪力等于零，只剩2下弯矩M未知，故只需补充一个变形协调条件。由于对称，变形协调条件可取为θ=θ=0。CDFFFCDMFMMNF/2F/2FSFF(d-1)(d-2)(d-3)题1图(d)2试求图示梁的支反力。　解题分析：将B点铰拆开，则左右两边均为静定结构。而B点处有二个未知内力，所以为二度静不定问题。但是在小变形条件下，B点轴向力较小可忽略不计。所以实际未知力只有B点处垂直作用力一个。20kN/m40kN解：1、写出变形协调方程ABDC4m2m2m设B点处垂直作用力为F，其方

4、向如图示。ByqFBy设左半边结构B点挠度为wB1，右边结构B点MAwB1lFP挠度为w，则本问题变形协调条件为BDB2CwB2l/2l/2wB1=wB2。FBy题2图2、计算FBy根据叠加原理，有43qlFBylw=−B18EI3EI23⎛l⎞33FP⎜⎟FByllFByl⎝2⎠w=+w+θ⋅=+B2DD3EI23EI3EI2⎛l⎞FP⎜⎟33⎝2⎠⎛l⎞FByl5FPl+×⎜⎟=+2EI⎝2⎠3EI48EI由变形协调条件w=wB1B2333⎛ql5FP⎞3⎡(20×10N/m)×4m5×40×10N⎤3得FBy=⎜−

5、⎟=×⎢−⎥=8.75×10N2⎝848⎠2⎣848⎦3、计算支反力分别考虑左、右边结构的平衡，得()333()F=ql−F=20×10N/m×4m−8.75×10N＝71.25×10N=71.25kN↑ABy1213()23M=ql−Fl=×20×10N/m×4m−8.75×10N×4mABy223=125×10N⋅m=125kN⋅m（逆时针）333()F=F+F=40×10N+8.75×10N＝48.75×10N=48.75kN↑CPBy3l⎛FP⎞⎛40×10N3⎞M=F⋅+Fl=⎜+F⎟l=⎜+8.75×10N⎟

6、×4mCPByBy⎜⎟2⎝2⎠⎝2⎠3=115×10N⋅m=115kN⋅m（顺时针）3结构如图示，设梁AB和CD的弯曲刚度EI相同。拉杆BC的拉压刚度EA已知，求拉杆BC的轴力。　aCD解题分析：将杆CB移除，则AB、CD均为静aq定结构。杆CB的未知轴力FN作用在AB，CDA2aBFNa梁上。为一度静不定问题。CFNDqaFN解：1、写出变形协调方程BA2a力q、FN作用下，B、C点发生向下的挠度，FN题3图同时杆CB产生拉伸变形。三者的关系为w=w+∆，此即本问题的变形协调方程。BCBC32、计算CB杆的轴力FN由叠

7、加原理，得43q()2aF(2a)NB点挠度为w=−B8EI3EI3FaNC点挠度为w=C3EIFaN杆CB的伸长量为∆=BCEA代入变形协调方程w=w+∆，得BCBC433q()2aFN()2aFNaFNa−=+8EI3EI3EIEA32qa2qaA解得F==N213aA+I3+2Aa4图示梁的右端为弹性转动约束，设弹簧常量为k。AB段可视为刚性，并与梁刚性连接。∆又梁的变形很小，EI已知，试求在力F作用下BAaF截面上的弯矩。　CBl/2l/2解题分析：在力F作用下，梁B截面发生转动，∆FTFFTB1a使弹簧伸长∆。

8、设弹簧拉力为FT，弹簧对B截CBB2面的转动有约束。是一度静不定问题。题4图解：1、写出变形协调方程设AB段转角为θ，梁CB的B截面转角为θ。由于AB与B点刚性连接，所以有B1B2θ=θ。B1B22、计算FTB截面弯矩为MB=FTa。梁在F及MB的作用下，B截面的转角为22FlMlFlFalBTθ=−=−B216EI