九十五学指定科目考试试题分析.pdf

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1、九十五學年度指定科目考試試題分析數學甲231.試問方程式(1xx+++=)10有幾個相異實數解？(1)0個(2)1個(3)2個(4)3個(5)6個答案（1）22⎛⎞132323精解1：x為實數，則xx++=+10⎜⎟x+>，(xx+++1)1恆大於零，故()xx+++=110⎝⎠24無實根。2232精解2：x為實數，x++x1為實數，又(xx++=1)−1的實根只有−1，∴()xx++=−11又2xx++=20兩根為虛根。故原方程式無實數解。23π+22kkπππ+精解3：令y=++xx1，得y=−1，又−1的三次方根為cos+=iksin,0,1,2，33−1+3i−1−3i即三

2、根為1-，，。222（1）yxx=++=1−1，得兩虛根。213+i（2）yxx=++=1，得兩虛根。2213−i（3）yxx=++=1，得兩虛根。2故原方程式無實根。【教學解析】：本題引導學生複數根的求法，如精解3中的解法。也引導學生對二次函數恆大2於零的判斷中解題，由解x++x1恆大於零，自然判斷原方程式無實根，如精解1。也可引導2學生−1的三根中只有−1為實根，故以xx++=−11解之無實根，可直接判斷原方程式無實根。22.在坐標平面上，設P為y=+−2xx圖形上的一點。若P的x坐標為log10，則P3點的位置在(1)第一象限(2)第二象限(3)第三象限(4)第四象限(5)坐

3、標軸上答案（4）精解1：由22⎛⎞19yxx=−++=−21⎜⎟x−+=−()xx+(−2)⎝⎠24由圖（一）：點Pk()log10,3，又log103log10>=log92，故由圖形中，可知點P在第()33log10,k3四象限內。2圖（一）精解2：由yxx=−++=−+21()xx(−2)，將x=log103代入得y=−(log101log10233+)(−)，又log1033>=log92，得1log10+>30，()log103−>20，即y=−()log1033+1log1020()−<，故點P在第四象限內。【教學解析】：本題可引導學生對數的大小比較，結合二次函數圖形的

4、結構，可得點P在第四象限，如精解1中的解法。或可直接比較log10log9>=2，代入二次函數中，算其值為正33或負，即可解此題，如精解2中的解法。在精解1中的解法，是將代數log10>2的判斷，再結合二次函數的幾何圖形結構，即可得解答，3這是代數與幾何相結合的精良解題武器。3.在坐標平面上給定兩點A(1,3)與B(5,6)。考慮坐標平面上的點集合SPP=Δ{AB之面積為10且周長為15}，則(1)S為空集合(2)S恰含2個點(3)S恰含4個點y(4)S為兩線段之聯集(5)S為兩直線之聯集答案（3）B(5,6)精解1：D22A(1,3)如圖（二），AB=+=435，1P10=⋅⋅5

5、PD，得PD=4（高）⇒點P座落x2在與直線AB相距4單位的兩直線上。圖（二）PAPB+=⇒10點P在以A、B為焦點，且a=5的橢圓上。此橢圓的55353acb===5,,，又4<，故此橢圓與兩平行線有四個交點，即S=4。222精解2：5如圖（三），PAPB+=10，當PA==PB5時，PD=3，25ΔPAB面積10，得高4，又43<，故得點P必須在圖2（三）中ΔPAB的左、右方能得到高4，再加上下對稱，故得S中有4個點。【教學解析】：我們可由橢圓的定義，及平行線等距觀念圖（三）得點P的結構為一橢圓與兩平行線的交點個數，再結合橢圓中a,b,c的值，及c與ΔPAB的高的大小比較，便可

6、判定S=4。這是精解1中的解法，這也是代數與幾何相結合的結果。在精解2中，以直觀圖形解之。先以PA=PB=5為基準點，再與ΔPAB高比較大小，得點P須偏左或右方可得高為4的三角形，再加上下對稱，故得S=4。這是由幾何直接觀察解題而得。二、多選題（24%）說明：第4至6題，每題各有5個選項，其中至少有一個是正確的。選出正確選項，劃記在答案卡之「解答欄」。每題8分，各選項獨立計分，每答對一個選項，可得1.6分，每答錯一個選項，倒扣1.6分，完全答對得8分；整題未作答者，不給分亦不倒扣分數。在備答選項以外之區域劃記，一律倒扣1.6分。倒扣到本大題之實得分數為零為止。4.擲一枚均勻硬幣4次

7、，恰好出現n次正面的機率記為a；擲一枚均勻硬幣8次，n恰好出現n次正面的機率記為b。試問以下哪些選項是正確的？n1(1)a=22(2)ab=24(3)bb=26(4)ab>33(5)b,b,b,",b中的最大值是b01284答案（3）（4）（5）4444⎛⎞114⎛⎞114⎛⎞13精解1：aaC==⎜⎟=，aaC==⎜⎟=，aC=⎜⎟=，04013122⎝⎠216⎝⎠24⎝⎠2888888⎛⎞118⎛⎞118⎛⎞178⎛⎞17bbC==⎜⎟=，bbC==⎜⎟=，bbC