线性代数习题答案(5).pdf

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1、习题五1.计算,.(1)(1,0,3,5),(4,2,0,1);31332(2),,,1,,2,3,.23423【解】(1),(1)40(2)30(5)1933132(2),(2)3(1)0223432.把下列向量单位化.(1)＝（3，0，－1，4）；(2)＝（5，1，－2，0）.【解】a2222(1)eaaa,30(1)426a1

2、314e(3,0,1,4),0,,;26262626(2)aaa,2514030a1512e(5,1,2,0),,,0.a303030303.利用施密特正交化方法把下列向量组正交化.(1)1=(0，1，1)′,2=(1,1,0)′,3=(1,0,1)′;(2)1=(1,0,1,1),2=(1,1,0,1),3=(1,1,1,0)【解】(1)(0,1,1),1121,111(1,1,0)(0,1,1)1

3、,,,22111,22231,,32222,,;331211,,22333(2)(1,0,1,1),1121,2121221(1,1,0,1)(1,0,1,1),1,,,11,333331,,321334,,,.331211,,22555514.试证，若n维向量与正交，则对于任意实数k，l，有k与l正交.【证

4、】与正交,0.klR,.(,)klkl,0∴k与l正交.5.下列矩阵是否为正交矩阵.1111010231121010(1)1;(2).2220101110101132【解】(1)A′A≠E,∴A不是正交矩阵(2)A′A=EA为正交矩阵6.设x为n维列向量，x′x＝1，令H＝E－２xx′.求证H是对称的正交矩阵.【证】HEx2xH(2)ExxEx2()xEx2()xH∴H为对称矩阵.

5、HH(2)ExxE(2)xx2E2()2()4()()ExxxxExxxx2Ex4(xx)4(xx)xE∴H是对称正交矩阵.7.设A与B都是n阶正交矩阵，证明AB也是正交矩阵.【证】A与B为n阶正交矩阵A′A=EB′B=E(AB)(AB)′=AB·(B′A′)=A(BB′)A′=AEA′=AA′=E∴AB也是正交矩阵.8.判断下列命题是否正确.(1)满足Ax＝x的x一定是A的特征向量；(2)如果x1，…，xr是矩阵A对应于特征值的特征向量.则k1x1＋k2x2＋…＋krxr也

6、是A对应于的特征向量；(3)实矩阵的特征值一定是实数.【解】(1)╳.Ax=x,其中当x=0时成立，但x=0不是A的特征向量.11(2)╳.例如：E3×3x=x特征值=1,的特征向量有22,3321100则220,0不是E3×3的特征向量.3300(3)╳.不一定.实对称矩阵的特征值一定是实数.9.求下列矩阵的特征值和特征向量.62423(1),(2)232

7、,3142623142200121(3)212,(4).01220200112【解】(1)232EA(2)(1)9037031337.2337当时，213733712x1x1()EAx0为0得解6137x2x2312对应的特征向量为371kk6,R且k0.1137333

8、72x1当时,02137x232371371其基础解系为1,1,对应的特征向量为kk6,0R且k.613624624(2)AE23223242604222(2)(11)