线性代数习题答案(3).pdf

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1、习题三1.略.见教材习题参考答案.2.略.见教材习题参考答案.3.略.见教材习题参考答案.4.略.见教材习题参考答案.5.,,,，证明向量组,,,线性相1122233344411234关.【证明】因为2()123412342()12341301234所以向量组,,,线性相关.12346.设向量组,,,线性无关，证明向量组,,,也线性无关，这里12r12r.ii

2、12【证明】设向量组,,,线性相关，则存在不全为零的数kk,,,,k使得12r12rkkk0.1122rr把代入上式，得ii12()kkk()kkkk0.12rr1232rr又已知,,,线性无关，故12rkkk0,12rkk0,2rkr0.该方程组只有惟一零解kkk0，这与题设矛盾，故向量组,,,线性无12r12r关.7.略.见教材习题参考答案.8.ii(,,,)12

3、iin,1i,2,,n.证明：如果aij0，那么12,,,n线性无关.【证明】已知Aaij0,故R(A)=n,而A是由n个n维向量ii(,,,)12iin,i1,2,,n组成的，所以,,,线性无关.12nn19.设tt,,,,t是互不相同的数，r≤n.证明：(1,,tti,),1,2,,r是线性无关的.12riii【证明】任取nr个数tr+1,…,tn使t1,…,tr,tr+1,…,tn互不相同，于是n阶范德蒙行列式21n1ttt11121n1tt

4、trrr0,21n1tttrr11r121n1tttnnn从而其n个行向量线性无关，由此知其部分行向量,,,也线性无关.12r10.设,,,的秩为r且其中每个向量都可经,,,线性表出.证明：12s12r,,,为,,,的一个极大线性无关组.12r12s【证明】若,,,(1)12r线性相关，且不妨设,,,(t

5、,,,必线性无关且为,,,的一个极大无关组.12r12s11.求向量组=(1,1,1,k),=(1,1,k,1),=(1,2,1,1)的秩和一个极大无关组.123【解】把,,按列排成矩阵A，并对其施行初等变换.1231111111111111120010010k10A1101001000kkk1kk11011kk001000当k=1时，,,的秩为2,,为其一极大无关组

6、.12313当k≠1时，,,线性无关，秩为3，极大无关组为其本身.12312.确定向量(2,,)ab,使向量组(1,1,0),(1,1,1),与向量组=(0,1,1),31231=(1,2,1),=(1,0,1)的秩相同，且可由,,线性表出.233123【解】由于011120A(,,)120011;123111000112112B(,,)11ab01,12301ba002而

7、R(A)=2,要使R(A)=R(B)=2,需a2=0,即a=2,又0112120ac(,,,)120a0112,1233111bb000a2要使可由,,线性表出，需ba+2=0,故a=2,b=0时满足题设要求，即=(2,2,0).3123313.设,,,为一组n维向量.证明：,,,线性无关的充要条件是任一n维向12n12n量都可经它们线性表出.【证明】充分性:设任意n维向量都可由,,,线性表示，则单位向量,,,，1

8、2n12n当然可由它线性表示，从而这两组向量等价，且有相同的秩，所以向量组,,,的秩12n为n，因此线性无关.必要性：设,,,线性无关，任取一个n维向量,则,,,线性相关，所12n12n以能由,,,线性表示.12n14.若向量组（1，0，0），（1，1，0），（1，1，1）可由向量组α１,α２,