2013年高考数学预测新课标数学考点预测(19)几何证明选讲.pdf

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1、2013年高考数学预测新课标数学考点预测几何证明选讲一、考点介绍（1）理解相似三角形的定义与性质，了解平行截割定理．（2）会证以下定理：①直角三角形射影定理；②圆周角定理；③圆的切线判定定理与性质定理；④相交弦定理；⑤圆内接四边形的性质定理与判定定理．⑥切割线定理．二、高考真题１．（2007广东卷理14）如图1所示，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3．过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点DDE，，则∠DAC=，线段AE的长为．EC【解析】如右图所示，因为OC⊥l，AD⊥l，所以AD∥OC.由BC=3ABl知O00⊿OBC为等

2、边三角形，∠B=60，则∠CAB=30，所以图1000∠ACO=30，进而∠DAC=30，∠EAO=60。连接OE,于是⊿OAE为等边三角形，故AE=3.0【答案】∠DAC=30；AE=3.2.（2007海南、宁夏卷理22）如图，已知AP是⊙O的切线，P为切点，AC是⊙O的割线，与⊙O交于BC，两点，圆心O在∠PAC的内部，点M是BC的中点．（Ⅰ）证明APOM，，，四点共圆；P（Ⅱ）求∠OAM+∠APM的大小．A【解析】（Ⅰ）证明：连结OPOM，．O因为AP与⊙O相切于点P，所以OP⊥AP．M因为M是⊙O的弦BC的中点，所以OM⊥BC．BC于是∠OPA+∠OMA

3、=180°．由圆心O在∠PAC的内部，可知四边形APOM的对角互补，所以APOM，，，四点共圆．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得APOM，，，四点共圆，所以∠OAM=∠OPM．由（Ⅰ）得OP⊥AP．由圆心O在∠PAC的内部，可知∠OPM+∠APM=90°．所以∠OAM+∠APM=90°．PAOM【答案】∠OAM+∠APM=90°．BC3．（2008广东卷理15）已知PA是圆O的切线，切点为A，PA=2．AC是圆O的直径，PC与圆O交于点B，PB=1，则圆O的半径R=．PAPB【解析】依题意，我们知道⊿PBA∽⊿PAC,由相似三角形的性质我们有=,即2RAB22PAAB•2×

4、2−1R===3。2PB21×【答案】R=34．（2008海南、宁夏卷理22）如图，过圆O外一点M作它的一条切线，切点为A，过A点作直线AP垂直直线OM，垂足为P．2（Ⅰ）证明：OM.OP=OA；（Ⅱ）N为线段AP上一点，直线NB垂直直线ON，且交圆O于B点．过B点的切线交�直线ON于K．证明：∠OKM=90．BK【解析】（Ⅰ）证明：因为MA是圆O的切线，所以OA⊥AM．A又因为AP⊥OM．在Rt△OAM中，由射影定理知，N2OM.OP=OA．OPM（Ⅱ）证明：因为BK是圆O的切线，BN⊥OK．2同（Ⅰ），有OB=ON.OK，又OB=OA，ONOM所以OP.OM

5、=ON.OK，即=．OPOK又∠NOP=∠MOK，�所以△ONP∽△OMK，故∠OKM=∠OPN=90．5．（2008江苏卷理21）如图，设△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线交于点E，∠BAC的平分线与BC交于点D．A2求证：ED=EB.EC．【解析】如图，因为AE是圆的切线，BDCE所以，∠ABC=∠CAE,又因为AD是∠BAC的平分线，所以∠BAD=∠CAD从而∠ABC+∠BAD=∠CAE+∠CAD因为∠ADE=∠ABC+∠BAD,∠DAE=∠CAD+∠CAE所以∠ADE=∠DAE,故EA=ED.因为EA是圆的切线，所以由切割线定理知,22EA=ECE

6、B⋅,而EA=ED,所以ED=EB.EC.三、名校试题考点一：相似三角形的定义与性质及圆的切线判定定理与性质定理1.(2008年江苏省盐城中学高三上学期第二次调研测试题)如图，已知：C是以AB为直径的半圆O上一点，CH⊥AB于点H，直线AC与过B点的切线相交于点D，E为CH中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交直线AB于点G.（Ⅰ）求证：F是BD的中点；（Ⅱ）求证：CG是⊙O的切线．〖解析〗（Ⅰ）证:∵CH⊥AB，DB⊥AB，∴△AEH∽AFB，△ACE∽△ADFEHAECE∴==，∵HE＝EC，∴BF＝FD∴F是BD中点.BFAFFD（Ⅱ）∵AB是直径，

7、∴∠ACB＝90°∴∠BCF=∠CBF=90°－∠CBA=∠CAB=∠ACO∴∠OCF=90°，∴CG是⊙O的切线(说明：也可证明△OCF≌△OBF(从略,仿上述评分标准给分)).考点二：切割线定理2.(2008年南通四县市高三联合考试)已知：如图，⊙O与⊙P相交于A，B两点，点P在⊙O上，⊙O的弦BC切⊙P于点B，CP及其延长线交⊙P于D，E两点，过点E作EF⊥CE交CB延长线于点F．若CD=2，CB=22，求EF的长．F〖解析〗连PB，BC切⊙P于点B，PB⊥BC，BCD=2，CB=22，由切割线定理得：CB2=CD·CEC．DPECE=4，DE=2，BP=

8、1，又∵EF⊥CE∴△C