2012届新课标数学考点预测(19)：几何证明选讲

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1、本资料来源于《七彩教育网》http://www.7caiedu.cn2012届新课标数学考点预测几何证明选讲一、考点介绍（1）理解相似三角形的定义与性质，了解平行截割定理．（2）会证以下定理：①直角三角形射影定理；②圆周角定理；③圆的切线判定定理与性质定理；④相交弦定理；⑤圆内接四边形的性质定理与判定定理．⑥切割线定理．二、高考真题１．（2007广东卷理14）图1如图1所示，圆的直径，为圆周上一点，．过作圆的切线，过作的垂线，分别与直线、圆交于点，则，线段的长为．【解析】如右图所示，因为，，所以∥.由知⊿为等边三角形，，则，所以，进而，。连接,于是⊿为等边三角形，故=3

2、.【答案】；=3.2.（2007海南、宁夏卷理22）如图，已知是⊙O的切线，为切点，是⊙O的割线，与⊙O交于两点，圆心在的内部，点是的中点．（Ⅰ）证明四点共圆；（Ⅱ）求的大小．【解析】（Ⅰ）证明：连结．因为与⊙O相切于点，所以．因为是⊙O的弦的中点，所以．于是．由圆心在的内部，可知四边形的对角互补，所以四点共圆．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得四点共圆，所以．由（Ⅰ）得．由圆心在的内部，可知．所以．【答案】．3．（2008广东卷理15）已知是圆的切线，切点为，．是圆的直径，与圆交于点，，则圆的半径．【解析】依题意，我们知道⊿∽⊿,由相似三角形的性质我们有,即。【答案】4．（2008

3、海南、宁夏卷理22）如图，过圆外一点作它的一条切线，切点为，过点作直线垂直直线，垂足为．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）为线段上一点，直线垂直直线，且交圆于点．过点的切线交直线于．证明：．【解析】（Ⅰ）证明：因为是圆的切线，所以．又因为．在中，由射影定理知，．（Ⅱ）证明：因为是圆的切线，．同（Ⅰ），有，又，所以，即．又，所以，故．5．（2008江苏卷理21）如图，设△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线交于点E，∠BAC的平分线与BC交于点D．BCEDA求证：．【解析】如图，因为是圆的切线，所以，,又因为是的平分线，所以从而因为,所以,故.因为是圆的切线，所以由切割线定理知,,而

4、,所以.三、名校试题考点一：相似三角形的定义与性质及圆的切线判定定理与性质定理1.(2008年江苏省盐城中学高三上学期第二次调研测试题)如图，已知：C是以AB为直径的半圆O上一点，CH⊥AB于点H，直线AC与过B点的切线相交于点D，E为CH中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交直线AB于点G.（Ⅰ）求证：F是BD的中点；（Ⅱ）求证：CG是⊙O的切线．〖解析〗（Ⅰ）证:∵CH⊥AB，DB⊥AB，∴△AEH∽AFB，△ACE∽△ADF∴，∵HE＝EC，∴BF＝FD∴F是BD中点.（Ⅱ）∵AB是直径，∴∠ACB＝90°∴∠BCF=∠CBF=90°－∠CBA=∠CAB=∠

5、ACO∴∠OCF=90°，∴CG是⊙O的切线(说明：也可证明△OCF≌△OBF(从略,仿上述评分标准给分)).考点二：切割线定理2.(2008年南通四县市高三联合考试)BACDO．PEF已知：如图，⊙O与⊙P相交于A，B两点，点P在⊙O上，⊙O的弦BC切⊙P于点B，CP及其延长线交⊙P于D，E两点，过点E作EF⊥CE交CB延长线于点F．若CD=2，CB=2，求EF的长．〖解析〗连PB，BC切⊙P于点B，PB⊥BC，CD=2，CB=2，由切割线定理得：CB2=CD·CECE=4，DE=2，BP=1，又∵EF⊥CE∴△CPB∽△CFE，得：，EF=考点三：圆内接四边形的性质

6、定理与判定定理3.(2008年南师附中高考数学模拟试卷（最后一卷）)如图，已知AD是ΔABC的外角ÐEAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交ΔABC的外接圆于点F，连结FB、FC．（1）求证：FB=FC；（2）求证：FB2=FA·FD；（3）若AB是ΔABC外接圆的直径，ÐEAC=120°，BC=6cm，求AD的长．〖解析〗FEDCBA（1）∵AD平分ÐEAC，∴ÐEAD=ÐDAC．∵四边形AFBC内接于圆，∴ÐDAC=ÐFBC．∵ÐEAD=ÐFAB=ÐFCB，∴ÐFBC=ÐFCB，∴FB=FC．（2）∵ÐFAB=ÐFCB=ÐFBC，ÐAFB=ÐBFD，∴ΔFB

7、A∽ΔFDB．∴，∴FB2=FA·FD．（3）∵AB是圆的直径，∴ÐACB=90°．∵ÐEAC=120°，∴ÐDAC=ÐEAC=60°，ÐBAC=60°．∴ÐD=30°．∵BC=6，∴AC=．∴AD=2AC=cm．考点四：相交弦定理AEBPCD4.如图：PA与圆O相切于A，PCB为圆O的割线，并且不过圆心O，已知∠BPA=，PA=，PC=1，则圆O的半径等于．〖解析〗由圆的性质PA=PC·PB，得，PB=12，连接OA并反向延长交圆于点E，在直角三角形APD中可以求得PD=4,DA=2,故CD=3,DB=8,J记圆的半径为R,由于ED·D