分离变量法涉及到的Fourier级数展开公式复习.ppt

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1、分离变量法涉及到的Fourier级数展开公式复习1、标准的Fourier级数展开定理和公式三角函数系：上述三角函数系中，任何两个不相同的函数的乘积在上的积分都等于零，即同理同理通常把两个函数在[a,b]，且的函数称为在[a,b]上是正交的。以为周期的函数的Fourier级数定理：若在整个数轴上且等式右边级数一致收敛，则有如下关系式：以为周期的函数的Fourier级数设f(x)是以2l为周期的函数，通过变量代换可以把f变换成以为周期的t的函数这时，函数的Fourier级数展开式是：设f是以2l为周期的偶函数，或是定义在[-l,l]上的偶函数，则在[-l,l]上，偶

2、函数奇函数设f是以2l为周期的奇函数，或是定义在[-l,l]上的奇函数，则在[-l,l]上，奇函数偶函数定义向量范数公理定义若赋范线性空间X中序列满足如下Cauchy条件即则称为Cauchy列。若X中所有Cauchy列皆收敛，则说X是完备的，并称X为Banach空间。3、完备的正交函数系4、函数展成用正交函数系表示的级数的系数的计算方法若是完备的正交函数系，且则对上式两端同时乘以，并在[a,b]上积分由于是正交的，所以即5、目前所涉及到常用的正交函数系及计算方法举例结论：本章所涉及到的特征函数系都是完备的正交函数系。例1：1）直接利用正弦级数展开公式，但是这里要

3、注意的是，直接利用公式，需要将进行奇延拓。2）利用正交函数系，同乘函数系中某一个函数后，两边积分同时在[0,l]上积分的方法。即利用公式：两端同时乘以，并在[0,l]上积分，得同理：例21)这个函数系不是我们在数学分析或高等数学中见到的标准的三角函数系。但是也有同样的Fourier级数的系数公式2）利用正交函数系，同乘函数系中某一个函数后，两边积分同时在[0,l]上积分的方法。两端同时乘以，并在[0,l]上积分，得例3同理，有6、第五节第二个例题的详细计算过程例2解下列定解问题：解:首先，将边界条件化成齐次的，为此令（2.75）代入原定解问题得到显然这个定解问题

4、可分为如下两个定解问题：（Ⅰ）和（Ⅱ）对于问题（Ⅰ），可以直接用分离变量法求解，求解步骤与§2.2中的问题（2.13～2.15）相同，所不同的只是通过分离变量得到常微分方程较（2.16）稍有不同。令代入（2.76）得由此得到两个常微分方程（2.82）（2.83）由条件（2.77）得（2.84）（2.83）（2.84）时，时，时，（2.82）（2.83）将上式中的代入（2.82）（2.82）得它的通解为从而问题（Ⅰ）的解可表示为确定为故所求得解为（2.86）（Ⅱ）由于是常数，所以只需将整数1在展开即可。由得（2.87）令（2.88）比较两端系数，加上边界条件，得（

5、2.88）由此，可解得为从而问题（Ⅱ）得解为（2.89）