§23 分离变量法拉普拉斯方程分离变量法.ppt

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1、§2.3分离变量法拉普拉斯方程分离变量法自由电荷分布只分布于界面上的情况,求解区域内部无自由电荷分布拉普拉斯(Laplace)方程根据所求解问题的边界条件选择不同的坐标系球面边界：球坐标系柱面边界：柱坐标系拉普拉斯方程在几种坐标系中解的形式1、直角坐标（1）令令（2）若（3）若，与无关。注意：在（1）、（2）两种情况中若考虑了某些边界条件，将与某些正整数有关，它们可取1，2，3，…，只有对它们取和后才得到通解。柱坐标讨论，令有两个线性无关解、单值性要求，只能取整数，令若，3．球坐标——缔合勒让德函数（连带勒让德函数）若不依赖于，即具有轴对称性，通解为-----为勒让德函数若与均无关，

2、具有球对称性，通解：三．解题步骤根据具体条件确定常数选择坐标系和电势参考点坐标系选择主要根据区域中分界面形状，参考点主要根据电荷分布是有限还是无限；分析对称性、分区写出拉普拉斯方程在所选坐标系中的通解；（1）外边界条件：电荷分布有限注意：边界条件和边值关系是相对的。导体边界可视为外边界，给定（接地），或给定总电荷Q，或给定。电荷分布无限，电势参考点一般选在有限区。如（直角坐标或柱坐标），电势可选在坐标原点。均匀场中，（2）内部边值关系：介质分界面上一般讨论分界面无自由电荷的情况例１．如图所示的导体球接地和带电荷的导体球壳（带电Q），求空间各点的电势及球壳内、外面上及导体球上的感应电荷

3、。解：(1)边界为球形，选球坐标系，电荷分布在有限区，选III边界上电势给定：导体球壳上电荷给定：Ｑ（2）设球壳内为II区，壳外为I区。球壳外:球壳内：电荷在球上均匀分布，场有球对称性，与无关交界面条件：（１）导体是等势体（２）导体球壳带电荷Ｑ得：导体球上的感应电荷：例2:电容率为的介质球置于均匀外电场中,求电势分布解:oz边界条件：相对于球的圆心的电势在处：在界面　　　上：例３：在均匀外电场中置入一带电为Ｑ的导体球，求电势分布和导体的面电荷密度解：oz边界条件：在界面　　　上：例4：p52例４z解：在面上：在面上：在尖角附近：作业p.70-71页：2,4,5