拉普拉斯方程 分离变量法.ppt

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1、§2.3拉普拉斯方程：分离变量法Laplaceequation:Methodofseparationofvariables基本问题：电场由电势描述电势满足泊松方程+边界条件只有在界面形状是比轻简单的几何曲面时，这类问题的解才能以解析形式给出，而且视情况不同而有不同解法本节和以下几节我们研究几种求解的解析方法具体的工作：解泊松方程在许多实际问题中，静电场是由带电导体决定的。例如电容器内部的电场是由作为电极的两个导体板上所带电荷决定的电子光学系统的静电透镜内部，电场是由分布于电极上的自由电荷决定的这些问题的特点：自由电荷只出现在一些导体的表面上，在空间中没有其他自由电荷分布。

2、选择导体表面作为区域V的边界，V内部自由电荷密度ρ＝0，泊松方程化为比较简单的拉普拉斯方程它的通解可以用分离变量法求出。拉氏方程在球坐标中、并若该问题中具有对称轴，取此轴为极轴，这种情形下通解为因此剩下的问题归结为：怎样利用边界条件及边值关系确定常数，得到满足边界条件的特解。利用边界条件定解说明两点：第一，如果考虑问题中有i个区域（均匀分布），必须有i个相应的Laplaceequation.第二，在每个区域的交界面上，应该满足边值关系：边界条件：及导体的总电荷3、举例说明定特解的方法[例3P51]半径为R0的接地导体球置于均匀外电场E0中，求电势和导体上的电荷面密度。[例

3、1P48]一个内径和外径分别为R2和R3的导体球壳，带电荷为Q。同心地包围着一个半径为R1的导体球（R1

4、1R2R3令因此得到：导体球上的感应电荷为QR1R2R3zR[例2P49]介电常数为ε的均匀介质球，半径为R，被置于均匀外场中，球外为真空。求电势分布。Solution:第一步：根据题意，找出定解条件。由于这个问题具有轴对称性，取极轴z沿外电场方向，介质球的存在使空间分为两个均匀区域—球内、球外。两区域内都没有自由电荷。因此电势满足Laplace'sequation。以代表球外区域的电势，代表球内区域的电势，故第二步：根据定解条件确定通解和待定常数由（2）式得比较两边系数，得由（6）式得从中可见故有：再由得:比较的系数，得由此得到电势为由此可见，球内的场是一个与球外场平行

5、的恒定场。而且球内电场比原外电场弱，这是极化电荷造成的。▲在球内总电场作用下，介质球的极化强度为▲介质球的总电偶极矩为第一步：分析题意，找出定解条件。第二步：写出通解分离变量法基本步骤：第三步：根据定解条件确定待定常数总结本节的内容