复变函数与积分变换 全套 课后答案.pdf

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1、习题一1.用复数的代数形式a+ib表示下列复数iπ/435i13ei;;(2)(43);i.71ii1iπiππ2222①解：ec4osisinii44222235i35i17i1613②解：i7i11+7i17i2525③解：2i43i834i6i510i1331i35④解：=iii1i2222.求下列各复数的实部和虚部(z=x+iy)33za3

2、1313iin(a);zi;;;.za22①解：∵设z=x+iyzaxyaxayiixayxayii则22zaxyaxayiixay222zaxayza2xy∴Re,Im．2222zaxayzaxay②解：设z=x+iy32322∵zxyiiixyxyxyx2yxyii222222xx

3、y22xyyxyxyi3223xx33yxyyi332323∴Rezxx3y,Imz3xyy．331i31i31232③解：∵13133133288180i181i31i3∴Re1,Im0．223223313133133i1i3④解：∵281

4、80i181i31i3∴Re1,Im0．22kn1,nk2⑤解：∵ik．1ik,nk21nkn∴当nk2时，Rei1，Imi0；nnk当nk21时，Rei0，Imi1．3.求下列复数的模和共轭复数1i2ii;3;(2)(32);i.2①解：2i415．2i2i②解：3333③解：2i32i2i32i51365

5、．2i32i2i32i2i32i47i1i1i2④解：22211i1ii2224、证明：当且仅当zz时，z才是实数．证明：若zz，设zxyi，则有xiyxyi，从而有2i0y，即y=0∴z=x为实数．若z=x，x∈，则zxx．∴zz．命题成立．5、设z,w∈，证明：zwzw≤2证明：∵zwzwzwzwzwzzzwwzww22zzw

6、zww22zwz2Rew22≤zwz2w22zwz2w2zw∴zwzw≤．6、设z,w∈，证明下列不等式．222zwz2Rezww222zwz2Rezww2222zwzw2zw并给出最后一个等式的几何解释．222证明：zwz2Rezww在上面第五题的证明已经证明了．222下面证zwz2Rezww．2∵zwzwzwzwzw22zzwwzw22zz2

7、Reww．从而得证．2222∴zwzw2zw几何意义：平行四边形两对角线平方的和等于各边的平方的和．7.将下列复数表示为指数形式或三角形式335i2π2π;;1ii;8π(13);cosisin.71i9935i35i17i①解：7i117i17i3816i198i17i8e其中πarctan．5025519iπ②解：ie其中．2πiie2iiππ③解：1ee2④解：8π13i1

8、6ππ.32πi∴8π13i16πe332π2π⑤解：cosisin9932π2π解：∵cosisin1．99322π2π2πiπ.3i∴cosisin1e93e998.计算：(1)i的三次根；(2)-1的三次根；(3)33i的平方根.⑴i的三次根．1ππ2kkπ2π3ππ322解：icosiksincosisin0,1,22233ππ3