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《复变函数 积分变换——课后答案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、复变函数积分变换——课后答案-----------------------Page1-----------------------习题五解答1、下列函数有些什么奇点？如果是极点，指出它的级。1sinz1（1）；（2）；（3）；2332z(z2+1)zz−z−z+11ln(z+1)z1z（4）；（5）；（6）e−；2πzzze1+1+()()1z2n1（7）；（8）；（9）.z2(ez−1)1+znsinz2122解（1）fz是有理函数，故奇点只是极点，满足zz+1=0，故z0，与z±i为()22()z(z+1)其奇点，z0为一级极点，而z±i为其二级极点。sinz（2）因lim=∞
2、则z0为其极点。再确定极点的级，有两种方法：3z→0z3sinza.z0为sinz为的一级零点；而z0为z的三级零点。故z0为的二级极点。3z2sinzsinzb.limzlim1≠0，故z0为其二级极点，3z→0zz→0z11（3）原式=，故z1为其二级极点，而z−1为一级极点。22z−z−(1)(1)zz(−1)(+1)∞zn+1()∞nnln1+znzln1+z−1（4）a．()∑()，0<
3、z
4、<1，∑(−1)无负幂项，故z0为其可去奇点。n+1zn+1n0n0ln1z1()+b．limlim1，故z0为可去奇点。z→0z→01+z(z)2(2)πz(z)1+z(k0,±1
5、,±2,)1+e（5）由1+z0得z±i为的一级零点，由1+e0得z2k+1i为k()的零点，又(1+eπz)′πeπzk−π≠0，所以zk为(1+ez)的一级零点，因此，z±i为二级极点；zkz2k+1i，k1,=±2,为一级极点。k()()11∞(−1)n（6）由e−z∑n，知z1为本性奇点。n0n!(z−1)∞n2zzzz2z1（7）因e−1z∑z(1+++)，故z0为z(e−1)的三级零点，因而是2zn0(n+1)!23!z(e−1)的三级极点，而z2kπi,(k±1,±2,)均为一级极点。(2k+1)πinnn（8）由z+10，z−1，得zke(k0,1,n−1)为原式一
6、级极点。（9）sinz20⇒z=±kπ,z=±ikπ，k0,1,2,由-1------------------------Page2-----------------------22⎧0k021(sinz)′
7、22zcosz
8、2⎨，(sinz)''2，知z0是2的二级极点，zkπzkπ≠0k≠0z0sinz⎩1k1,2,3,z=±kπ，z=±ikπ（）均为一级极点。sinz22．求证：如果z0是f(z)是m（m>1）级零点，那么z0是f'(z)的m−1级零点。m证由题知：f(z)(z−z0)ϕ(z)，ϕ(z0)≠0，则有m−1mm−1()()()()()()[()()()]f'zm
9、z−z0ϕz+z−z0ϕ'zz−z0mϕz+z−z0ϕ'z故z0是f'(z)的m-1级零点。πi3．验证：z是chz的一级零点。2πiππiππi解由chcos0，(chz)'πishisini，知z是chz的一级零点。z2222224．z0是函数(sinz+shz−2z)−2的几级极点？解(sinz+shz−2z)z00,(sinz+shz−2z)'z0(cosz+chz−2)z00，(sinz+shz−2z)''z0(−sinz+shz)z00,(sinz+shz−2z)'''z0(−cosz+chz)z00，(sinz+shz−2z)(4)z0(sinz+shz)z00,(s
10、inz+shz−2z)(5)z0(cosz+chz)z02，故z0是函数sinz+shz−2z的五级零点，也即为(sinz+shz−2z)−2的十级极点。5．如果f(z)和g(z)是以z0为零点的两个不恒等于零的解析函数，那么f(z)f'(z)limlim(或两端均为∞)。z→zz→z0g(z)0g'(z)证因f(z)和g(z)是以z为零点的两个不恒等于零的解析函数，可设f(z)(z=−z)ϕ(z)，00g(z)(z=−z)ψ(z)，ϕ(z),ψ(z)为解析函数，则0zzzzzzz(−)ϕ()fzϕ()+(−)ϕ'()()()'()fz0ϕz0，，gzzzzz()()()()'()
11、()()'()gzz−zψzψzψ+−ψ00'()ϕ(z)+(z−z)ϕ'(z)()f(z)ϕ(z)fz0ϕz故limlim，lim=limlim，即z→zz→zz→zz→zz→z0gz0ψz0gz0ψzzzψz0ψz()()'()()+(−)'()()0f(z)f'(z)limlim(或两端均为∞)z→zz→z0gz0gz()'()6．若ϕz与ψz分别以za为m级与n级极点（或零点），那么下列三个函数在za处各有什()()么性质？（1）ϕzψz；（2）ϕz/ψz；（
