复变函数与积分变换课后习题答案 详解

复变函数与积分变换课后习题答案 详解

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时间:2019-10-20

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1、复变函数与积分变换(修订版)课后答案(复旦大学出版社)复变函数与积分变换(修订版)主编:马柏林(复旦大学出版社)——课后习题答案37/37复变函数与积分变换(修订版)课后答案(复旦大学出版社)37/37复变函数与积分变换(修订版)课后答案(复旦大学出版社)习题一1.用复数的代数形式a+ib表示下列复数.①解②解:③解:④解:2.求下列各复数的实部和虚部(z=x+iy)R);①:∵设z=x+iy则∴,.②解:设z=x+iy∵∴,.③解:∵∴,.④解:∵∴,.⑤解:∵.∴当时,,;当时,,.3.求下列复数的模和共轭复数①解:.②解:③解:.④解:4、证明:当

2、且仅当时,z才是实数.证明:若,设,则有 ,从而有,即y=037/37复变函数与积分变换(修订版)课后答案(复旦大学出版社)∴z=x为实数.若z=x,x∈¡,则.∴.命题成立.5、设z,w∈£,证明:证明∵∴.6、设z,w∈£,证明下列不等式.并给出最后一个等式的几何解释.证明:在上面第五题的证明已经证明了.下面证.∵.从而得证.∴几何意义:平行四边形两对角线平方的和等于各边的平方的和.7.将下列复数表示为指数形式或三角形式①解:其中.②解:其中.③解:④解:.∴⑤解:解:∵.∴8.计算:(1)i的三次根;(2)-1的三次根;(3)的平方根.⑴i的三次根

3、.解:∴. ⑵-1的三次根解:∴37/37复变函数与积分变换(修订版)课后答案(复旦大学出版社)⑶的平方根.解:∴∴.9.设.证明:证明:∵ ∴,即.∴又∵n≥2.∴z≠1从而11.设是圆周令,其中.求出在a切于圆周的关于的充分必要条件.解:如图所示.因为={z:=0}表示通过点a且方向与b同向的直线,要使得直线在a处与圆相切,则CA⊥.过C作直线平行,则有∠BCD=β,∠ACB=90°故α-β=90°所以在α处切于圆周T的关于β的充要条件是α-β=90°.12.指出下列各式中点z所确定的平面图形,并作出草图.解:(1)、argz=π.表示负实轴.(2)

4、、

5、z-1

6、=

7、z

8、.表示直线z=.(3)、1<

9、z+i

10、<2解:表示以-i为圆心,以1和2为半径的周圆所组成的圆环域。(4)、Re(z)>Imz.解:表示直线y=x的右下半平面37/37复变函数与积分变换(修订版)课后答案(复旦大学出版社)5、Imz>1,且

11、z

12、<2.解:表示圆盘内的一弓形域。习题二1.求映射下圆周的像.解:设则因为,所以所以,所以即,表示椭圆.2.在映射下,下列z平面上的图形映射为w平面上的什么图形,设或.(1);(2);(3)x=a,y=b.(a,b为实数)解:设所以(1)记,则映射成w平面内虚轴上从O到4i的一段,即(2)记,则

13、映成了w平面上扇形域,即(3)记,则将直线x=a映成了即是以原点为焦点,张口向左的抛物线将y=b映成了即是以原点为焦点,张口向右抛物线如图所示.3.求下列极限.(1);37/37复变函数与积分变换(修订版)课后答案(复旦大学出版社)解:令,则.于是.(2);解:设z=x+yi,则有显然当取不同的值时f(z)的极限不同所以极限不存在.(3);解:=.(4).解:因为所以.4.讨论下列函数的连续性:(1)解:因为,若令y=kx,则,因为当k取不同值时,f(z)的取值不同,所以f(z)在z=0处极限不存在.从而f(z)在z=0处不连续,除z=0外连续.(2)解

14、:因为,所以所以f(z)在整个z平面连续.5.下列函数在何处求导?并求其导数.(1)(n为正整数);解:因为n为正整数,所以f(z)在整个z平面上可导..(2).解:因为f(z)为有理函数,所以f(z)在处不可导.从而f(z)除外可导.(3).解:f(z)除外处处可导,且.(4).解:因为.所以f(z)除z=0外处处可导,且.6.试判断下列函数的可导性与解析性.37/37复变函数与积分变换(修订版)课后答案(复旦大学出版社)(1);解:在全平面上可微.所以要使得,,只有当z=0时,从而f(z)在z=0处可导,在全平面上不解析.(2).解:在全平面上可微.

15、只有当z=0时,即(0,0)处有,.所以f(z)在z=0处可导,在全平面上不解析.(3);解:在全平面上可微.所以只有当时,才满足C-R方程.从而f(z)在处可导,在全平面不解析.(4).解:设,则所以只有当z=0时才满足C-R方程.从而f(z)在z=0处可导,处处不解析.7.证明区域D内满足下列条件之一的解析函数必为常数.(1);证明:因为,所以,.所以u,v为常数,于是f(z)为常数.(2)解析.证明:设在D内解析,则而f(z)为解析函数,所以所以即从而v为常数,u为常数,即f(z)为常数.(3)Ref(z)=常数.证明:因为Ref(z)为常数,即u

16、=C1,因为f(z)解析,C-R条件成立。故即u=C2从而f(z)为常数.(4)

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