2012年高考广东卷理科数学压轴题分析_何小亚.pdf

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1、·46·中学数学月刊2013年第2期2012年高考广东卷理科数学压轴题分析何小亚(华南师范大学数学科学学院510631)2今年,笔者有幸负责广东高考数学理科卷压m2方法1假设点M(m,n)存在,则有+n=轴题20题的阅卷工作.下面就答卷中反映出的一3些问题进行分析,以供广大的一线数学教师参考.11①.设圆心到直线l的距离为d,则d=<221原题展示槡m+n22(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy1,即m+n>1.x2y21中,已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心又因为AB=21-22,所以

2、S△OAB=a2b2槡m+n1111率e=2,且椭圆C上的点到点Q(0,2)的距离AB·d=22(1-22)≤.当且仅槡32槡m+nm+n211的最大值为3.当,即m2222=1-22+n=2②时,等号m+nm+n(1)求椭圆C的方程;成立.(2)在椭圆C上,是否存在点M(m,n),使得直线l:mx+ny=1与圆O:x22槡6槡2+y=1相交于不由①②解得m=±,n=±,于是所求的点22同的两点A,B,且△OAB的面积最大?若存在,求出点M的坐标及对应的△OAB的面积;若不的坐标是(槡6,槡2),

3、(槡6,-槡2),(-槡6,槡2),222222存在,请说明理由.槡6槡22解法分析(-,-).此时对应的诸三角形的面积均达到最222.1第1问的解法1大值.222c槡a-b22因为e===,所以a=槡3aam2方法2假设点M(m,n)存在,则有2+n=1.22xy32,即椭圆C的方程为3b2+2=1.设P(x,y)为3bb1设圆心到直线的距离为d,则d=2<1,即m椭圆C上任意给定的一点,则PQ22222=x+(y-2)槡m+n222,y∈[-b,b].2=-2(y+1)+6+3b≤6+3b+n

4、>1.2方法11)若-1<-b,则0<b<1,此时当AB因为2,所以AB=2槡1-d2,于是()=1-d2,即-2b222y=-b时,PQmax=9+4b+3b+4=9,1由此得b=-5或b=1(不合题意,舍去).2·d=S△OAB=AB·d=槡1-d22)若-b≤-1,则b≥1,此时当y=-1时,222,解得b22槡(1-d2)·d21-d+d1PQmax=9=1,a=3.≤=.当且仅当122方法2由题设存在点P1满足P1Q=3,则9=22,即2d222-d=d=1时等号成立,故m+n=2.22

5、,故b≥1.P1Q≤6+3b(下同方法1)当b≥1时,由于y=-1∈[-b,b]时,PQ2取1方法3设∠AOB=α,S2得最大值6+3b2,故6+3b2=9,解得b2=1,a2=3.△OAB==2×1×2x1因此,所求椭圆C的方程为2+y=1.sinα.当sinα=1,即α=90°时,Smax=.此时,322.2第2问的解法点O到直线AB的距离d=OBcos45°.而d=第2问的各种解法的区别本质上是面积的表达1,由此得m22+n=2.(下同方法1)式与求最值的方法的区别.22槡m+n2013年第

6、2期中学数学月刊·47·2槡m2+n2-12m1-n方法4由方法1得S△OAB=x2=22,x1x2=22.m2+n2m+nm+n于是AB=(x)22槡2-2n2槡2-2n21槡2-x1+(y1-y2)==2=≤.2223-2n(槡2-2n2)2+12m2槡m+n-11+2|x2-x1|=22(下略).槡nm+n当槡2-2n2=1③时,等号成立.由①③解方法7除了方法3之外,前面的方法都是利用均得m=±槡6,n=±槡2.(下同方法1)值不等式来讨论△OAB面积的最大值问题.事实上,也22可以用导数

7、工具来求解△OAB面积的最值问题,此处222槡m+n-1m方法5S△OAB=22.因为+略.m+n32.3考生解法讨论2烄m=槡3cosα,2n=1,令烅(0≤α≤2π).设t=m在全省30余万理科考生中,本题满分是352人,对烆n=sinα满分者进行抽样统计,第2问有5%的考生用方法1;有222+n=3cosα+sinα=2+cos2α,则1≤t≤3.22%的考生用方法2;有4%的考生用方法3;有6%的考2t-111于是S△OAB=2=-()+=生用方法6(韦达定理、直线交圆锥曲线的弦长公式);

8、有槡t槡tt60%的考生用方法4和5.21111-(-)+≤.当t=2时,等号成方法1~3最简单,但满分者中只有31%的考生会槡t242用.而有69%的满分者使用了复杂的解法4~6.最简单槡2槡2立.解得cosα=±,sinα=±.的解法3,仅有4%的满分考生使用了此方法.可见运用22恰当的数学方法解决问题的能力有待提高.故所求的点坐标为槡6,槡2,槡6,-槡2,()()第1问满分是7分,第2问能正确得出△OAB面积2222的结果可以得2分.对得8分的考生进行抽样统计,有高(-槡6

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