数学分析课件08.pdf

《数学分析课件08.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、数学分析第八章:不定积分王何宇(浙江大学数学系科学与工程计算研究所)最后更新2009年11月20日王何宇数学分析原函数定义:设函数f与F在区间I上都有定义,若F0(x)=f(x);x2I;则称F为f在区间I上的一个原函数.例子:12F(x)=xarctanxln(1+x)2是f(x)=arctanx的一个原函数.因此产生问题:1原函数的存在性何唯一性;2怎样求原函数.王何宇数学分析原函数定义:设函数f与F在区间I上都有定义,若F0(x)=f(x);x2I;则称F为f在区间I上的一个原函数.例子:12F(x)=

2、xarctanxln(1+x)2是f(x)=arctanx的一个原函数.因此产生问题:1原函数的存在性何唯一性;2怎样求原函数.王何宇数学分析原函数定义:设函数f与F在区间I上都有定义,若F0(x)=f(x);x2I;则称F为f在区间I上的一个原函数.例子:12F(x)=xarctanxln(1+x)2是f(x)=arctanx的一个原函数.因此产生问题:1原函数的存在性何唯一性;2怎样求原函数.王何宇数学分析原函数的存在性定理:若函数f在区间I上连续,则f在I上存在原函数F,即F0(x)=f(x);x2I

3、:反例:函数f在区间I上不连续,但是存在原函数.x2sin1;x6=0;F(x)=x0;x=0:其导数为2xsin1cos1;x6=0;f(x)=xx0;x=0:显然f在x=0点间断,但F是其原函数之一.(注:反例引自新浪博客:山路水桥,10-061,url:http://blog.sina.com.cn/s/blog4aa977290100fg7a.html)王何宇数学分析原函数的存在性定理:若函数f在区间I上连续,则f在I上存在原函数F,即F0(x)=f(x);x2I:反例:函数f在区间I上不连续,但

4、是存在原函数.x2sin1;x6=0;F(x)=x0;x=0:其导数为2xsin1cos1;x6=0;f(x)=xx0;x=0:显然f在x=0点间断,但F是其原函数之一.(注:反例引自新浪博客:山路水桥,10-061,url:http://blog.sina.com.cn/s/blog4aa977290100fg7a.html)王何宇数学分析原函数不唯一定理:设F是f在区间I上的一个原函数,则1F+C也是f在区间I上的原函数,其中C为任意常量函数;2f在I上的任意两个原函数之间,只能差一个常数.证明:1显

5、然,因为有[F(x)+C]0=F0(x)=f(x);x2I:2设F和G都是f在区间I上的原函数,则[F(x)G(x)]0=F0(x)G0(x)=f(x)f(x)=0;x2I:因此由拉格朗日中值定理知,F(x)G(x)C;x2I:王何宇数学分析原函数不唯一定理:设F是f在区间I上的一个原函数,则1F+C也是f在区间I上的原函数,其中C为任意常量函数;2f在I上的任意两个原函数之间,只能差一个常数.证明:1显然,因为有[F(x)+C]0=F0(x)=f(x);x2I:2设F和G都是f在区间I上的原函数,则

6、[F(x)G(x)]0=F0(x)G0(x)=f(x)f(x)=0;x2I:因此由拉格朗日中值定理知,F(x)G(x)C;x2I:王何宇数学分析原函数不唯一定理:设F是f在区间I上的一个原函数,则1F+C也是f在区间I上的原函数,其中C为任意常量函数;2f在I上的任意两个原函数之间,只能差一个常数.证明:1显然,因为有[F(x)+C]0=F0(x)=f(x);x2I:2设F和G都是f在区间I上的原函数,则[F(x)G(x)]0=F0(x)G0(x)=f(x)f(x)=0;x2I:因此由拉格朗日中

7、值定理知,F(x)G(x)C;x2I:王何宇数学分析不定积分定义定义:函数f在区间I上的全体原函数称为f在I上的不定积分,记作Zf(x)dx;R其中称为积分号,f(x)称为被积函数,x为积分变量.由前面定理知,f的不定积分是一个函数族(集合)fF+Cg,其中C称为积分常数.写作Zf(x)dx=F(x)+C:王何宇数学分析不定积分定义定义:函数f在区间I上的全体原函数称为f在I上的不定积分,记作Zf(x)dx;R其中称为积分号,f(x)称为被积函数,x为积分变量.由前面定理知,f的不定积分是一个函数族(集合)

8、fF+Cg,其中C称为积分常数.写作Zf(x)dx=F(x)+C:王何宇数学分析初值问题由于f的不定积分是一族互相平行"的曲线.因此在实际物理模型的求解中,需要有一个初始值来确定一条唯一的原函数作为问题的解.例子:已知质点作匀加速直线运动,即a(t)=v0(t)=a;则Zv(t)=a(t)dt=at+C:如果给出在t0时刻的速度v(t0)=v0,则代入上式就有v(t0)=at0+C=